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北航数值分析大作业二(纯原创,高分版)

目录

题目：2

算法设计思路和方案2

关于第一步矩阵A 的拟上三角化2

关于对矩阵 − 进行带双步位移的QR 分解迭代3

关于求从属于矩阵A 的实特征值 的特征向量3

计算结果4

发现的现象与问题: 7

探究带双步位移的QR 分解比一般QR 分解节省的计算量7

探究拟上三角化对QR 分解迭代收敛速度的影响7

关于直接单步QR 分解计算发现的问题9

源程序 10

数值分析上机实习作业二

王强 SY1413315

题目：

试求矩阵 = []10×10 的全部特征值，并对其中的每个实特征值求相应的特征向量，

已知：

( )

= { sin 0.5 + 0.2 ≠ (, = 1,2, ⋯ , 10)

1.52 cos( + 1.2 ) =

说明：

1. 在所用的算法中，凡是要给出精度水平的ε，都取 = 10−12 。

2. 打印以下内容：

(1) 采用带双步位移的QR 分解法，说明算法设计方案和思路。

(2) 全部源程序。

(3) 矩阵A 经过拟上三角化后的矩阵( −1) 。

(4) 对矩阵( −1) 实行QR 方法迭代结束后所得的矩阵；

( ) ( ) ( )

(5) 矩阵 A 的全部实特征值 = , = 1,2, , ⋯ , 10 , 其中 = , =

( )

。若λ 是实数，则令 = 0;

i

(6) A 相应的实特征值的特征向量。

(7) 发现的现象与遇到的问题。

3. 采用e 型数输出实型数，并且至少显示12 位有效数字。

算法设计思路和方案

该问题的求解起始主要分为三个步骤，第一步是对A 拟上三角化得矩阵 (−1) ；第二步

是对矩阵( −1) 进行带双步位移的QR 分解迭代，并求出全部特征值；第三部是求出所有实

特征值对应的特征向量。

关于第一步矩阵A 的拟上三角化

对于此步书上已经有明确的思路和实现方法了，只是在编程的过程中注意对下式在计算

的时候应注意避免矩阵乘矩阵

( +1) = ()

如果设(), ( = + 1, + 2, ⋯ , 不全为零，则有：

= (0, ⋯ ,0, () , ⋯ , )

+1,

= − (()