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第5，6，7节 二次型及其标准形 引例 可见，对于一般二次曲线 例1 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。 而它们所对应的标准正交的特征向量为 (4) 写出 2. 配方法 令 例3 用配方法化二次型 令 所用的可逆线性变换为 三、正定二次型 ⒈ 惯性定理 推论 3. 令 则(1)式变成 则称(2)为实二次型 的规范型。 其平方项系数为 1，－1，0。 定理(惯性定理) 任何实二次型总可以经过一个适当的可逆 线性变换化成规范形,规范形是唯一的。 其中 r 为 f 的秩，p为正惯性指数，r－p为负惯性指数。 都有 ⒉ 正定二次型 定义 设 为实二次型( A为实对称 矩阵),如果对于任意非零向量 称 f 为正定(半正定)二次型,称正定(半正定)二次型 f 的矩阵 A为正定(半正定)矩阵。 二次型的对称矩阵A是正定(半正定)矩阵。 二次型 正定(半正定) 一、二次型及其矩阵表示 三、正定二次型(重点) 二、化二次型为标准形(重点) 四、小结 问题的引入 在平面解析几何中， 我们知道标准方程 中 的图形为圆。 的图形为椭圆。 的图形为双曲线。 对于一般二次曲线 的图形是什么？ 取 二次曲线 引入坐标变换 代入方程左边， 消交叉项得 则原方程化为 若取 只要适当选择 作旋转变换 就可将曲线方程化为标准方程 (二次齐次式，只含平方项) 就可以判别二次曲线(1)的图形。 二次曲面也有类似的问题， 标准形式. 下面作一般讨论。 在数学、物理及力学和工程 也有类似的问题，且其变量的个数往往不止两个的二次 齐次式，也可通过适当的线性变换，化为只含平方项的 一. 二次型及其矩阵表示 1. 二次型、二次型的矩阵、二次型的秩 1.二次型、 二次型的矩阵、秩 2. 可逆线性变换 3.矩阵的合同 称为二次型。(1) 含有 个变量 的二次齐次多项式 定义1： (我们仅讨论实二次型) 实二次型： 为实数。 复二次型： 为复数。 例如： 都是二次型。 不是二次型。 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形。 例如： 都为二次型； 为二次型的标准形。 取 则 则(1)式可以表示为 二次型用和号表示 令 则 其中 为对称矩阵。 二次型的矩阵表示(重点) 注 1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。 2、其对角线上的元素 恰好是 的系数。 3、 的系数的一半分给 可保证 例如：二次型 注：二次型 对称矩阵 把对称矩阵 称为二次型 的矩阵 也把二次型 称为对称矩阵 的二次型 对称矩阵 的秩称为二次型 的秩 二次型 定义2： 简记 设 若 2. 非退化线性变换(可逆线性变换) 为可逆线性变换。 当C是可逆矩阵时，称 对于二次型，我们讨论的主要问题是： 寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。 即二次型 经过可逆线性变换 使得 为什么研究可逆 的变换？ 即经过可逆线性变换 可化为 3. 矩阵的合同 矩阵的合同： 证明 定理 设A为对称矩阵，且A与B合同，则 注：合同仍然是一种等价关系 矩阵合同的性质： (1) 反身性 (2) 对称性 (3) 传递性 以上说明： 注意： 2. 在变换二次型时，要求所作的线性变换是可逆的. 二. 化二次型为标准形 正交变换法(重点) 配方法 目标： 问题转化为： 回忆： 此结论用于二次型 所以， 1. 正交变换法 对二次型 存在正交变换 ，使 其中 为 的特征值。 其中P 的列向量是A的相应于特征值的n个两两正交 的单位特征向量。 定理： 解(1)写出二次型 f 的矩阵 (2) 求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量 (3) 写出正交变换 取正交矩阵 则得所欲求的正交变换 即 的标准型。 易知经上述正交变换 后所得二次型的标准型 2. 解 二次型的矩阵为 3)对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化： 作正交变换 X=QY，则 注：正交变换化为标准形的优点： 在几何中，可以保持曲线 (曲面)的几何形状不变。 ⑴ 同时含有平方项 与交叉项 的情形。 例2 用配方法将下列二次型经可逆线性变换化为标准形。 解： 二次型的标准形为 所求的可逆线性变换为 即 为标准形,并求出所作的可逆线性变换. 解 令 ⑵ 只含交叉项 的情形。 即 则二次型的标准形为 思考题：1、 (1) 合同且相似； (2) 合同但不相似； (3) 不合同但相似； (4) 不合同且不相似； 一般地，任何二次型都可用上面的方法找到可逆变换 把二次型化为标准型，而标准型中含有的项数(系数 就是二次型的秩。 二次型的标准型显然