c语言N的阶乘质因子分解,牛客算法周周练4 C题——阶乘 二分+阶乘分解质因子...

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题意 ： 给定一个p， 找一个最小的n，使得n！是p的倍数。

思路 ：有两种思路

1、二分方法，因为要找到最小的n！，用二分即可。重点便是二分里的judge函数。

(1)此题要用到分解质因子的方法。

算数基本定理 ： 任意一个大于1的自然数N，如果N不为质数，则N可以唯一分解为有限个质数的乘积。

比如 100 = 2 * 2 * 5 * 5。

这里我们要用map这个容器，first是每个质因数，2和5，second是出现的次数，将100分解后，map里存在的是 {2,2,} 和 {5, 2}。

然后我们需要判断一个 mid 的阶乘是否是100的倍数，就要看mid ！里面质因子2的个数 >= 2， 5的个数 >= 2。

(2) 那么如何判断 n！里面质因子的个数呢？

n！里面质因子p的个数，1-n中包含质因子p的数的个数。

n！中至少包含一个质因子p的个数是 n / p，至少包含两个的个数是n / p^2……

比如 mid = 8，判断8！里面质因数2的个数。

首先 8! 里面有2 4 6 8 四个数可以整除2，此个数便是8 / 2 = 4；除2 后 8！里面，就变成了 1 2 3 4，其中2 和 4可以整除2，此个数便是 4 / 2 = 2； 除2后只有一个2， 此个数便是 2 / 2 = 1。 所以 8！ 里面 质因子2的个数便是 4 + 2 + 1 = 7。

(3)代码：

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;

#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))

#define pb push_back

// #define _DEBUG

typedef long long ll;

const int maxn = 2e5 + 7;

const int INF = INT_MAX; //常量代替 0x7fffffff

int t,p;

map mp;

void init(int p){//分解质因数并记录在map里

mp.clear();

for (int i = 2; i*i <= p; i++) {

// i*i 是一个优化，因为p的因子最大是 根号p

while (p % i == 0) {

mp[i] ++;

p /= i;

}

if (p == 1) {

break;

}

}

if (p != 1) {//p本身是质数

mp[p] = 1;

}

}

bool ok(int mid){

for (map::iterator it = mp.begin(); it != mp.end(); it++) {

int prime = it->first, num = it->second;

int cnt = 0, n = mid;//cnt是每个质因数的个数

while (n) {

cnt += n / prime;

n /= prime;

}

if (cnt < num) {

return false;

}

}

return true;

}

int main(){

#ifdef _DEBUG

freopen("in.txt","r",stdin);

freopen("out.txt","w",stdout);

#endif

ios::sync_with_stdio(0);

cin.tie(0);

cin>>t;

while (t--) {

cin>>p;

init(p);

int l = 1, r = p;

int ans = 0;

while (l <= r) {

int mid = l + (r - l) / 2;

if (ok(mid)) {

r = mid - 1;

ans = mid;//每次更新ans

}else{

l = mid + 1;

}

}

cout<

}

return 0;

}

(4)遇到的问题 ：

对p分解质因子的时候，注意是 i*i <= p ，否则会TLE。这是一种类似埃氏筛法的小技巧，具体可以看如下链接：

欧拉筛法

二分里面，如果r = mid 而不是 mid-1，会死循环，所以就直接mid + 1和mid - 1这样，同时最后的l 或者 r可能不是最后答案，就用ans每次更新答案。

2、同样是分解质因子的方法，不过是用gcd

(1)最大公因子 Greatest Common Divisor

此函数在刘汝佳大神的《算法竞赛入门经典》中有讲到。辗转相除法。

int gcd(int a,int b){

if(b == 0) return a;

return gcd(b,a%b);

}

(2)如果p是1或者质数，则直接输出p；

if (p == 1 || isPrime(p)) {

cout<

}else{

for (int i = 2; ; i++) {

if (gcd(i,p) != 1) {

p /= gcd(i,p);

if (p == 1) {

cout<

break;

}

if (i < p && isPrime(p)) {

cout<

break;

}

}

}

}

i 从2开始遍历，如果i 和p 有最大公因子， p /= gcd(i,p)，如果p = 1，那么直接输出这个i； 如果此时i < p， 并且p是质数，则直接输出p。这是一个剪枝，因为p 是质数，i < p，那么i 递增到p后才会满足 p == 1，所以直接输出p。

其思想便是分解质因子，因为i是从2开始递增的，2——i ，相当于是 i 的阶乘，每个数判断是否有p中的质因子，如果有就更新p，最后 p = 1则说明 此时的i的阶乘便是p的倍数。这样最后输出的i 便满足条件。

(3)代码：

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;

#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))

#define pb push_back

typedef long long ll;

const int maxn = 1e4 + 7;

const int INF = INT_MAX;

// #define _DEBUG

int t,p;

bool isPrime(int p){

if(p == 1) return false;

for (int i = 2; i*i <= p; i++) {

if(p % i == 0) return false;

}

return true;

}

int gcd(int a,int b){

if(b == 0) return a;

return gcd(b,a%b);

}

int main(){

#ifdef _DEBUG

freopen("in.txt","r",stdin);

freopen("out.txt","w",stdout);

#endif

ios::sync_with_stdio(0);

cin.tie(0);

cin>>t;

while (t--) {

cin>>p;

if (p == 1 || isPrime(p)) {

cout<

}else{

for (int i = 2; ; i++) {

if (gcd(i,p) != 1) {

p /= gcd(i,p);

if (p == 1) {

cout<

break;

}

if (i < p && isPrime(p)) {

cout<

break;

}

}

}

}

}

return 0;

}