Luogu4191：[CTSC2010]性能优化

最新推荐文章于 2019-06-08 22:28:00 发布

转载最新推荐文章于 2019-06-08 22:28:00 发布 · 48 阅读

CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/cjoieryl/p/10211854.html

本文深入探讨了在特定条件下，如何解决两个多项式的循环卷积问题。通过将问题转化为使用混合基FFT的方法，解决了当n不是2的幂时，无法直接应用NTT的问题。文章详细介绍了算法的实现过程，包括如何利用单位复数的性质和循环卷积的特性来高效地计算多项式的乘法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

传送门
题目翻译：给定两个 \(n\) 次多项式 \(A,B\) 和一个整数 \(C\)，求 \(A\times B^C\) 在模 \(x^n\) 意义下的卷积
显然就是个循环卷积，所以只要代入 \(\omega_n^{k}\) 进去求出点值，然后插值就好了
？？？\(n\) 不是 \(2^k\) 的形式，不能直接 \(NTT\)
怎么办呢？
根据题目性质，可以把 \(n\) 拆成 \(2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}7^{a_4}\) 的形式
这启示我们每次不是每次分成两半而是拆分成 \(3/5/7\) 次，然后再合并点值
设 \(F(x)=\sum a_ix^i，F_r(x)=\sum a_{ip+r}x^i\)
那么 \(F(x)=\sum x^rF(x^p)\)
根据单位复数的性质(消去引理和折半引理)那么
\[F(\omega_n^{an+b})=\sum \omega_{np}^{(an+b)r}F_r(w_n^b)\]
那么只需要写一个每次分 \(p\) 份的 \(FFT\) 就好了

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn(5e5 + 5);

int n, c, a[maxn], b[maxn], tmp[maxn], g, pri[233333], tot, pw[2][maxn], mod, r[maxn];

inline int Pow(ll x, int y) {
    register ll ret = 1;
    for (; y; y >>= 1, x = x * x % mod)
        if (y & 1) ret = ret * x % mod;
    return ret;
}

inline void Inc(int &x, int y) {
    x = x + y >= mod ? x + y - mod : x + y;
}

int Dfs(int s, int p, int cur, int blk) {
    if (cur == tot + 1) return s + p;
    register int nxt;
    nxt = blk / pri[cur];
    return Dfs(s + nxt * (p % pri[cur]), (p - p % pri[cur]) / pri[cur], cur + 1, nxt);
}

inline void DFT(int *p, int opt) {
    register int i, j, k, l, q, t, cur;
    for (i = 0; i < n; ++i) tmp[r[i]] = p[i];
    for (i = 0; i < n; ++i) p[i] = tmp[i], tmp[i] = 0;
    for (i = 1, cur = tot; i < n; i *= pri[cur], --cur) {
        for (t = i * pri[cur], j = 0; j < n; j += t)
            for (k = 0; k < t; k += i)
                for (l = 0; l < i; ++l)
                    for (q = 0; q < pri[cur]; ++q)
                        Inc(tmp[j + k + l], (ll)pw[opt == -1][n / t * (k + l) * q % n] * p[j + i * q + l] % mod);
        for (j = 0; j < n; ++j) p[j] = tmp[j], tmp[j] = 0;
    }
    if (opt == -1) for (c = Pow(n, mod - 2), i = 0; i < n; ++i) p[i] = (ll)p[i] * c % mod;
}

int main() {
    register int i, j, x;
    scanf("%d%d", &n, &c), mod = n + 1;
    for (x = n, i = 2; i * i <= x; ++i)
        while (x % i == 0) pri[++tot] = i, x /= i;
    if (x > 1) pri[++tot] = x;
    for (i = 2; ; ++i) {
        for (g = i, j = 1; g && j <= tot; ++j)
            if (Pow(g, n / pri[j]) == 1) g = 0;
        if (g) break;
    }
    for (i = 0; i < n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
    for (i = 0; i < n; ++i) scanf("%d", &b[i]);
    pw[0][0] = pw[1][0] = 1, pw[0][1] = g, pw[1][1] = Pow(g, mod - 2);
    for (i = 2; i < n; ++i) pw[0][i] = (ll)pw[0][i - 1] * g % mod, pw[1][i] = (ll)pw[1][i - 1] * pw[1][1] % mod;
    for (i = 0; i < n; ++i) r[i] = Dfs(0, i, 1, n);
    DFT(a, 1), DFT(b, 1);
    for (i = 0; i < n; ++i) a[i] = (ll)a[i] * Pow(b[i], c) % mod;
    DFT(a, -1);
    for (i = 0; i < n; ++i) printf("%d\n", a[i]);
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/cjoieryl/p/10211854.html