基于稀疏表示的人脸识别

本文主要记录自己在学习稀疏表示在人脸识别中的应用所遇到的问题作一简单的总结。

1.  问题背景

        信号的稀疏表示并不是新的东西。我们很早就一直在利用这一特性。例如，最简单的JPEG图像压缩算法。原始的图像信号经过DCT变换之后，只有极少数元素是非零的，而大部分元素都等于零或者说接近于零。这就是信号的稀疏性。

        任何模型都有建模的假设条件。压缩感知，正是利用的信号的稀疏性这个假设。对于我们处理的信号，时域上本身就具有稀疏性的信号是很少的。但是，我们总能找到某种变换，使得在某个变换域之后信号具有稀疏性。这种变换是很多的，最常见的就是DCT变换，小波变换，gabor变换等。

        然而，这种正交变换是传统视频图像处理采用的方法。目前所采用的一般不是正交变换。它是基于样本采样的。或者说是通过大量图像数据学习得到的，其结果称作字典，字典中的每一个元素称作原子。相关的学习算法称作字典学习。常见的算法例如K-SVD算法。学习的目标函数是找到所有样本在这些原子的线性组合表示下是稀疏的，即同时估计字典和稀疏表示的系数这两个目标。

       压缩感知和稀疏表示其实是有些不同的。压缩感知的字典是固定的，在压缩感知的术语里面其字典叫做测量矩阵。但压缩感知的恢复算法和稀疏表示是同一个问题。他们都可以归结为带约束条件的L1范数最小化问题。求解这类泛函的优化有很多种方法。早在80年代，统计学中Lasso问题，其实和稀疏分解的优化目标泛函是等价的。而求解统计学中lasso 问题的LARS算法很早就被提出了，故我们还可以通过统计学的LARS算法求解稀疏表示问题。目前很多统计学软件包都自带LARS算法的求解器。

2. 基于稀疏表示的分类 SRC

      人脸的稀疏表示是基于光照模型。即一张人脸图像，可以用数据库中同一个人所有的人脸图像的线性组合表示。而对于数据库中其它人的脸，其线性组合的系数理论上为零。由于数据库中一般有很多个不同的人脸的多张图像，如果把数据库中所有的图像的线性组合来表示这张给定的测试人脸，其系数向量是稀疏的。因为除了这张和同一个人的人脸的图像组合系数不为零外，其它的系数都为零。

       上述模型导出了基于稀疏表示的另外一个很强的假设条件：所有的人脸图像必