m个苹果放入n个盘子问题

最新推荐文章于 2021-03-06 14:30:47 发布

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文章标签： python 数据结构与算法

本文探讨了几个有趣的排列组合问题，包括将苹果分配到盘子的不同方法，并提供了递归及动态规划解法。还讨论了将整数分解为若干整数之和的方法。

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　　这个问题，看似是一个简单的排列组合问题，但是加上不同的限制条件，会演变成不同的问题，感觉很奇妙，就总结一下列举下来

问题一

　　问题描述：把m个同样的苹果放在n个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问有多少种不同的分法？(注：5,1,1和1,1,5是同一种分法)

解题分析：

　　设f(m,n)为m个苹果，n个盘子的放法数目，则先对n作讨论，

当n>m：则必定有n-m个盘子永远空着，去掉它们对摆放苹果方法数目不产生影响。即 if(n>m) f(m,n) = f(m,m)
当n <= m:不同的放法可以分成两类：含有0的方案数，不含有0的方案数

含有0的方案数，即有至少一个盘子空着，即相当于 f(m,n)=f(m,n-1);
不含有0的方案数，即所有的盘子都有苹果，相当于可以从每个盘子中拿掉一个苹果，不影响不同放法的数目，即 f(m,n)=f(m-n,n).而总的放苹果的放法数目等于两者的和，即 f(m,n)=f(m,n-1)+f(m-n,n)

递归出口条件说明：

当n=1时，所有苹果都必须放在一个盘子里，所以返回1；
当m==0(没有苹果可放)时，定义为1种放法；

用递归解法

int fun(int m, int n) {//m个苹果放在n个盘子中共有几种方法
    if(m==0 || n==1)
        return 1;
    if(n>m)
        return fun(m,m);
    else
        return fun(m,n-1)+fun(m-n,n);
}

用动态规划解法：

                        int[][] mat=new int[m+1][n+1];
			for(int i = 0; i <=m; i++) {
				mat[i][0]=0;
				mat[i][1]=1;
			}
			for(int i = 0; i <=n; i++) {
				mat[0][i]=1;
			}
			for (int i = 1; i <=m; i++) {
				for(int j = 1; j <=n; j++) {
					if(i<j)
						mat[i][j]=mat[i][i];
					else
						mat[i][j]=mat[i][j-1]+mat[i-j][j];
						
				}
			}
			return mat[m][n];

问题二

　　问题描述：将整数N分成K个整数的和且每个数大于等于A小于等于B，求有多少种分法

 
  int Dynamics(int n, int k, int min){ //将n分为k个整数，最小的大于等于min,最大的不超过B
    if(n < min) return 0;  //当剩下的比min小，则不符合要求，返回0
    if(k == 1) return 1;
    int sum = 0;
    for(int t = min; t <= B; t++)
    {
        sum += Dynamics(n-t, k-1, t);
    }
    return sum;
}

问题三

　　m---->相同， n---->相同，不能为空。将m个苹果放进n个盘子中，有多少种方法。同时注意例如1、2和2、1这两种方案是一种方案。

　　思路，先把每个盘子都放一个苹果，这样问题就转化为：m-n个苹果放进n个盘子里，盘子允许空，即问题1