三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法，三次样条又是其中用的较为广泛的一种。本篇介绍力求用容易理解的方式，介绍一下三次样条插值的原理，并附C语言的实现代码。

1. 三次样条曲线原理

假设有以下节点

 

 

1.1 定义

样条曲线 是一个分段定义的公式。给定n+1个数据点，共有n个区间，三次样条方程满足以下条件：

a. 在每个分段区间 （i = 0, 1, …, n-1，x递增）， 都是一个三次多项式。

b. 满足 （i = 0, 1, …, n ）

c.  ，导数 ，二阶导数 在[a, b]区间都是连续的，即曲线是光滑的。

所以n个三次多项式分段可以写作：

，i = 0, 1, …, n-1

其中ai, bi, ci, di代表4n个未知系数。

1.2 求解

已知:

a. n+1个数据点[xi, yi], i = 0, 1, …, n

b. 每一分段都是三次多项式函数曲线

c. 节点达到二阶连续

d. 左右两端点处特性（自然边界，固定边界，非节点边界）

根据定点，求出每段样条曲线方程中的系数，即可得到每段曲线的具体表达式。

 

插值和连续性：

, 其中 i = 0, 1, …, n-1

微分连续性：

, 其中 i = 0, 1, …, n-2

样条曲线的微分式：

 

将步长 带入样条曲线的条件：

a. 由 (i = 0, 1, …, n-1)推出

 

b. 由 (i = 0, 1, …, n-1)推出

c. 由 (i = 0, 1, …, n-2)推出