图论 Floyd算法

最新推荐文章于 2024-03-14 17:32:55 发布

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#数据结构与算法

本文介绍Floyd算法，一种用于计算图中所有顶点对之间最短路径的经典算法。该算法的时间复杂度为O(n^3)，空间复杂度为O(n^2)。文章详细解释了算法的工作原理、实现步骤，并提供了核心代码示例。

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Floyd算法　　

　　时间复杂度O (n^3)

　　空间复杂度O (n^2)

用处

　　可以求任意两个点之间的最短路径长度。

　　得出的邻接矩阵存储 i 到 j 的最短路径长度。

　　无法解决“负权环问题”

　　1 ____ -2

　　　\　　/

思路（摘自知乎作者-赵轩昂）

采用动态规划思想， f[k][i][j] 表示和之间可以通过编号不超过( 1...k )的节点的最短路径。

初值为原图的邻接矩阵。

则 f[k][i][j] 可以从 f[k-1][i][j] 转移来，表示到不经过这个节点。
也可以从 f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j] 转移过来，表示经过这个点。
意思即 f[k][i][j] = min(f[k-1][i][j] , f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j])

然后你就会发现最外层一维空间可以省略，因为 f[k] 只与 f[k-1] 有关。

初始化

　　用邻接矩阵表示，

　　f[i][j]初始化为 i 到 j 的距离，

　　如果 i 无法到达 j 则 f[i][j] = INF;

//初始化 
for(int i=0;i<N;++i){
    for(int j=0;j<N;++j){
        if(i==j)
            f[i][j] = 0;
        else
            f[i][j] = INF;
    }
}
//读入边
for(int i=1;i<=m;i++){
    cin >> t1 >> t2 >> t3;
    f[t1][t2] = t3;
}

核心代码:

for(int k=0;k<n;++k){
    for(int i=0;i<n;++i){
        for(int j=0;j<n;++j){
            f[i][j] = min(f[i][j],f[i][k] + f[j][k]);
        }
    }
}

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