对数的运算

学生在对数运算中的难点分析：

一、不理解对数，不会用对数公式或错用对数公式

①对数\(log_23\)和指数幂\(2^3\)一样，也就是个实数而已，所以其也会有加减乘除乘方开方等运算；

比如\(2^{2+log_23}=2^2\cdot 2^{log_23}=4\cdot 3=12\)；

②准确记忆对数的运算公式和法则，

【相关复习】指数幂的运算
正整数指数幂：$\underbrace{{a\times a\times \cdots\times a}}_{n个}=a^n(n\in N)$；
负整数指数幂：$a^{-n}=\cfrac{1}{a^n}$；$a^0=1(a\neq 0)$；
正分数指数幂：$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$；负分数指数幂：$a^{-\frac{m}{n}}=\cfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$；
$\{整数\}\cup\{分数\}=\{有理数\}$；$\{有理数\}\cup\{无理数\}=\{实数\}$，
指数的运算法则：($m，n\in R$)，注意：字母$a、b$的内涵；
公式：$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$；$(a^m)^n=(a^n)^m=a^{mn}$；$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$；
注意逆用：$a^{m+n}=a^m\cdot a^n$；$a^{mn}=(a^m)^n=(a^n)^m$；$a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$；

\(a^b=N(指数式)\Longleftrightarrow b=log_aN(对数式)\)；

对数的性质：\(log_a1=0\)，\(log_aa=1\)；

对数的运算法则：\(log_aMN=log_aM+log_aN\)；

\(log_a\cfrac{M}{N}=log_aM-log_aN\)；\(log_aM^n=nlog_aM\)；

对数恒等式：\(a^{log_aN}=N\)；

对数换底公式：\(log_ab=\cfrac{log_cb}{log_ca}(a>0,a\neq 1;c>0,c\neq 1;b>0)\)

常用公式1：\(log_ab\cdot log_bc\cdot log_cd= log_ad\)；\(log_ab\cdot log_bc\cdot log_ca= log_aa=1\)；

\(log_ab\cdot log_ba=1\)；\(lne=1\)；\(lg2+lg5=lg10=1\)；

常用公式2：\(log_{a^m}{b^n}=\cfrac{n}{m}log_ab(m，n\in R，a>0，a\neq 1，b>0)\)

③正用、逆用、变用公式；

\(log_aM+log_aN=log_aMN\)；\(log_aM-log_aN=log_a\cfrac{M}{N}\)；

\(nlog_aM=log_aM^n\)；\(\cfrac{n}{m}log_ab=log_{a^m}{b^n}\)

④错用公式：\(log_a(M+N)=log_aM+log_aN\)；\(log_a(M\cdot N)=log_aM\cdot log_aN\)；

二、知道对数的公式和运算法则，但不会灵活运用，对公式中的字母的内涵不理解；

\(\fbox{例1}\)化简\((log_24)^{log_23}=3\)；\(log_2^{\;\;log_216}=log_24=2\)；

\(\fbox{例2}\) 化简\(log_225\cdot log_34\cdot log_59=8\)；提示：换底公式

\(\fbox{例3}\)化简\(lg^32+lg^35+3lg2lg5\)

分析：原式\(=(lg2+lg5)(lg^22-lg2lg5+lg^25)+3lg2lg5\)

\(=lg^22-lg2lg5+lg^25+3lg2lg5\)

\(=lg^22+2lg2lg5+lg^25=(lg2+lg5)^2=1\)；

\(\fbox{例4}\)\((log_43+log_83)(log_32+log_92)\)

法1：原式\(=(\cfrac{1}{2}log_23+\cfrac{1}{3}log_23)(log_32+\cfrac{1}{2}log_32)\)

\(=(\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3})\cdot log_23\cdot (1+\cfrac{1}{2})log_32=\cfrac{5}{4}\)

法2：原式\(=(\cfrac{1}{log_34}+\cfrac{1}{log_38})(\cfrac{1}{log_23}+\cfrac{1}{log_29})\)

\(=(\cfrac{1}{2log_32}+\cfrac{1}{3log_32})(\cfrac{1}{log_23}+\cfrac{1}{2log_23})\)

\(=\cfrac{5}{6log_32}\cdot \cfrac{3}{2log_23}=\cfrac{5}{4}\)

三、只会单独运用单个的对数公式，不会组合应用几个对数公式；

\(\fbox{例1}\)：计算\(5^{log_{25}(lg^22+lg\frac{5}{2})}\)；

分析：本题目分三个步骤完成：

第一步，先计算\(5\)的指数位置的对数的真数的值，

\(lg^22+lg\cfrac{5}{2}=(lg2)^2-lg2+lg5\)

\(=lg2(lg2-1)+lg5=-lg2lg5+lg5\)

\(=lg5(1-lg2)=(lg5)^2\)

这样，原题目就转化为\(5^{log_{25}(lg5)^2}\)；

第二步，再计算\(5\)的指数位置的对数的值，

\(log_{25}(lg5)^2=log_{5^2}(lg5)^2=\cfrac{2}{2}\cdot log_5lg5=log_5lg5\)；

这样，原题目再次转化为\(5^{log_5lg5}\)；

第三步，利用对数恒等式求值，

\(5^{log_5lg5}=lg5\)；

故\(5^{log_{25}(lg^22+lg\frac{5}{2})}=lg5\)；

四、涉及指数、对数的综合运算

①\(2^{-log_23}=2^{log_2(3^{-1})}=3^{-1}=\cfrac{1}{3}\)；

②\(4^{\frac{1}{2}log_210}=(4^{\frac{1}{2}})^{log_210}=2^{log_210}=10\)；

③\(7^{-log_7\frac{1}{2}}=(\cfrac{1}{2})^{-1}=2\)；

④\(4^{\frac{1}{2}+log_210}=4^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{log_210}=2\cdot 2^{log_2{10}^2}=200\)；

⑤\(\cfrac{1}{2}lg\cfrac{32}{49}-\cfrac{4}{3}lg\sqrt{8}+lg\sqrt{245}\)

\(=\cfrac{1}{2}(lg32-lg49)-\cfrac{4}{3}lg8^{\frac{1}{2}}+lg245^{\frac{1}{2}}\)

\(=\cfrac{1}{2}(lg2^5-lg7^2)-\cfrac{4}{3}\cdot \cfrac{1}{2}lg2^3+\cfrac{1}{2}lg(49\times5)\)

\(=\cfrac{1}{2}(5lg2-2lg7)-\cfrac{2}{3}\times 3lg2+\cfrac{1}{2}(2lg7+lg5)\)

\(=\cfrac{5}{2}lg2-lg7-2lg2+\cfrac{1}{2}lg5+lg7\)

\(=\cfrac{1}{2}lg2+\cfrac{1}{2}lg5\)

\(=\cfrac{1}{2}(lg2+lg5)=\cfrac{1}{2}\)。

五、不懂对数运算的策略

\(\fbox{例1}\)求值：\(5^{lg30}\cdot (\cfrac{1}{3})^{lg0.5}\)

分析：设\(5^{lg30}\cdot (\cfrac{1}{3})^{lg0.5}=x\)，两边同时取对数，

得到\(lgx=lg[5^{lg30}\cdot (\cfrac{1}{3})^{lg0.5}]\)，

即\(lgx=lg30\cdot lg5+lg0.5\cdot lg\cfrac{1}{3}\)

即\(lgx =(lg3+1)\cdot lg5+(-lg2)\cdot (-lg3)\)

即\(lgx=lg3\cdot lg5+lg5+lg2\cdot lg3\)

即\(lgx=lg3(lg2+lg5)+lg5\)

即\(lgx=lg3+lg5=lg15\)，

即\(x=15\)；

\(\fbox{例2}\)求值：\(log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})}\)

原式=\(log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})}\)

\(=\cfrac{1}{2}\cdot 2 log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})}\)

\(=\cfrac{1}{2}log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})^2}=\cfrac{1}{2}\)

\(\fbox{例3}\)已知\(a，b>0\)，且满足\(2+log_2a=3+log_3b=log_6(a+b)\)，求\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}\)的值；

分析：引入正数因子\(k\)，

令\(2+log_2a=3+log_3b=log_6(a+b)=k(k>0)\)，

则由\(2+log_2a=log_24a=k\)，

得到\(4a=2^k\)，即\(a=\cfrac{2^k}{2^2}=2^{k-2}\)；

由\(3+log_3b=log_327b=k\)，

得到\(27b=3^k\)，即\(b=\cfrac{3^k}{3^3}=3^{k-3}\)；

由\(log_6(a+b)=k\)，

得到\(a+b=6^k\)；

则\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}=\cfrac{a+b}{ab}\)

\(=\cfrac{6^k}{2^{k-2}\cdot 3^{k-3}}\)

\(=\cfrac{2^k\cdot 3^k}{2^k\cdot 2^{-2}\cdot 3^k\cdot 3^{-3}}\)

\(=\cfrac{1}{2^{-2}\cdot 3^{-3}}\)

\(=2^2\cdot 3^3=108\)

六、虽然能做出对数题目，但不能理解题目的训练意图；

\(\fbox{例1}\)用\(lgx\)、\(lgy\)、\(lgz\)、\(lg(x+y)\)、\(lg(x-y)(x>y>0)\)表达下列对数式；

①\(lg(xyz)=lgx+lgy+lgz\)；

②\(lg(x^2y^2z^{-3})=2lgx+2lgy-3lgz\)；

③\(lg\cfrac{xy}{x^2-y^2}=lgx+lgy-lg(x+y)-lg(x-y)\)；

④\(lg[\cfrac{y}{x(x-y)}]^3=3lgy-lgx-lg(x-y)\)；

\(\fbox{例2}\)解对数方程：\(log_2(9^{x-1}-5)=log_2(3^{x-1}-2)+2\)

分析：要使得原方程成立，必须先满足条件\(9^{x-1}-5>0①\)， \(3^{x-1}-2>0②\)，

在此前提下，原方程等价于\(log_2(9^{x-1}-5)=log_24(3^{x-1}-2)\);

即\(9^{x-1}-5=4(3^{x-1}-2)\)，

即\(9^{x-1}-4\cdot 3^{x-1}+3=0\)，

即\((3^{x-1})^2-4\cdot 3^{x-1}+3=0\)，

即 \(3^{x-1}=1\)，或者\(3^{x-1}=3\)，

解\(3^{x-1}=1\)， 即\(3^{x-1}=3^0\)，解得\(x=1\)，

解\(3^{x-1}=3\)， 即\(3^{x-1}=3^1\)，解得\(x=2\)，

验证：将\(x=1\)和\(x=2\)代入①②两式，舍去\(x=1\)，保留\(x=2\)，

故方程的根为\(x=2\)。

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