方差分析——单因素方差分析

一.基本概念

    记水平 Ai 下的 ni 个试验结果为 x_ij ，则

　　

其中 ε_ij是由各种无法控制的因素引起的随机误差。

    上式说明，试验结果 x_ij 受到两方面的影响：

    ⑴因素 A 的水平 Ai 的均值 μ_i

    ⑵随机误差 ε_ij

 

称

为一般平均。

称

为水平 Ai 的效应，反映了水平 Xi 的均值与一般平均的差异。

　　从而要检验的原假设可改写为：

　　

 

二.方差分析的基本方法

方差分析的基本思路：

将因素的不同水平和随机误差对试验结果的影响进行分离，并比较两者中哪一个对试验结果 xij 的影响起主要作用。

若因素的不同水平对试验结果 xij 的影响是主要的，就拒绝 H0，说明因素 A 对试验结果有显著影响。

若试验结果 xij 中的差异主要是由随机误差引起的，就不能拒绝 H0，说明因素 A 对试验结果无显著影响。

1.总的偏差平方和

为总的偏差平方和

为便于对 S_T 进行分解，记水平 Ai 下的样本均值为

反映了各样本(同一水平)内的数据差异，主要是由随机误差所引起的，称为误差平方和或组内平方和。

反映了各样本(不同水平)间数据的差异，主要是由因素A的不同水平效应间的差异引起的，称为因素A的平方和 或 组间平方和。

利用 S_A 和 S_e 之比就可以构造出检验 H0 的统计量。

就拒绝 H0，说明各水平 Ai 的效应间存在显著差异，或称因素 A 的作用是显著的。

由于 SA /(a-1) 和 Se /(N-a) 分别是组间数据和组内数据的样本方差，故称这种基于检验样本方差比的方法为方差分析。

 

三.方差分析表

　　　　　　　　单因素方差分析表

显著性水平
1个星号代表5%显著性水平
2个星号代表1%显著性水平
3个星号代表0.1%显著性水平