实际应用问题中的最值

前言

典例剖析

例1【2019届高三理科数学三轮模拟试题】某莲藕种植塘每年的固定成本是\(1\)万元，每年最大规模的种植量是\(8\)万斤， 每种植一斤藕，成本增加\(0.5\)元，如果销售额函数是\(f(x)=-\cfrac{1}{8}x^3+\cfrac{9}{16}ax^2+\cfrac{1}{2}x\)，(\(x\)是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，\(a\)是常数)，若种植\(2\)万斤，利润是\(2.5\)万元，则要使利润最大，每年需要种植莲藕【】万斤。

$A.8$ $B.6$ $C.3$ $D.5$

分析：注意理解题目的意思，“每年最大规模的种植量是\(8\)万斤”，意思是说定义域为\(0<x<8\)，“若种植\(2\)万斤，利润是\(2.5\)万元”，意思是为了让我们求出\(a\)值，

由题可知，利润函数\(y=f(x)-1-\cfrac{1}{2}x=-\cfrac{1}{8}x^3+\cfrac{9}{16}ax^2-1\)，其中\(0<x<8\)，

当\(x=2\)时，\(y=-1+\cfrac{9}{4}a-1=2.5\)，解得\(a=2\)，

综上所述，利润\(y=-\cfrac{1}{8}x^3+\cfrac{9}{8}x^2-1\)，\(0<x<8\)，

\(y'=-\cfrac{3}{8}x^2+\cfrac{9}{4}x=-\cfrac{3}{8}(x^2-6x)=-\cfrac{3}{8}x(x-6)\)，

则当\(x\in (0，6)\)时，\(y'>0\)，函数单调递增，当\(x\in (6，8)\)时，\(y'<0\)，函数单调递减，

故当\(x=6\)时，利润最大，故选\(B\)。

例2(求解分段函数的最值，应用问题)

某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产\(x\)千件该产品需要另外投入的生产成本为\(G(x)\)(单位：万元)，当年产量不足\(80\)千件时，\(G(x)=\cfrac{1}{3}x^2+10x\)；当年产量不小于\(80\)千件时，\(G(x)=51x+\cfrac{10000}{x}-1450\)；已知每件产品的售价为\(0.05\)万元。通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是多少？

分析：本题目的实质是求解分段函数的最大值，但是还有几个难点：其一单位的统一，其二根据常识列出年利润的分段函数，其三在每一段上求最大值，最后比较得到函数在整个定义域上的最大值。其中\(“利润=销售量\times 价格-生产成本-固定成本”\)

解析：由题目得到生产成本为\(G(x)=\begin{cases} \cfrac{1}{3}x^2+10x &x<80 \\ 51x+\cfrac{10000}{x}-1450 &x\ge 80\end{cases}\).

每千件的价格为\(1000\times 0.05=50(万元)\)，

每\(x\)千件的销售额为\(1000\times 0.05x=50x(万元)\)，

设年利润函数为\(y\)，

则\(y=f(x)=\begin{cases} 50x-(\cfrac{1}{3}x^2+10x)-250， &x<80 \\ 50x-(51x+\cfrac{10000}{x}-1450)-250 &x\ge 80\end{cases}\).

接下来在每一段上分别求函数的最大值，

当\(x<80\)时，\(f_1(x)= 50x-(\cfrac{1}{3}x^2+10x)-250=-\cfrac{1}{3}(x-60)^2+950， x<80\)，

故当\(x=60 \in (0，80)\)时，\([f_1(x)]_{max}=950(万元)\)

当\(x\ge 80\)时，\(f_2(x)= 50x-(51x+\cfrac{10000}{x}-1450)-250=1200-(x+\cfrac{10000}{x})\ge 1200-2\times 100=1000\)，

故当\(x=100 \in (80，+\infty)\)时，\([f_2(x)]_{max}=1000(万元)>[f_1(x)]_{max}=950(万元)\)，

故所获年利润的最大值\(1000\)万元。

备注：若某一段上的函数为三次多项式函数，可以利用导数求解其最大值；

转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11000104.html