拉格朗日乘数法

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以2元函数为例:

已知 φ(x,y) = 0，求 z = f(x, y)的最大值或者最小值。

使用拉格朗日乘数法，首先构造一个辅助函数：

F(x, y, λ)  = f(x, y) + λ*φ(x, y)

之后，解下面的方程组：



由于方程组中的 φ(x,y) = 0知，解出来的x和y，可以使得 φ(x,y) = 0。由于 φ(x,y) = 0，F(x, y, λ) 取得极值，也意味着f(x, y)取得极值。

以3元函数为例:

已知 φ(x, y, z) = 0，ψ(x, y, z) = 0，求f(x, y, z)的极值。

同样的，构造辅助函数

F(x, y, z, λ, μ)=f(x,y,z) + λφ(x, y, z)  + μψ(x, y, z)

，然后解下面的方程组：

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