模！

同余方程组

如何解一个同余方程组：\[a_i x \equiv b_i (\mod m_i)\]

首先我们可以知道，解一定是这样的一个形式：\[x \equiv b(\mod m)\]

初始，我们可以令\(b=0, m=1\)表示所有整数。

现在的问题转化为求解这样两个方程：
\[x \equiv c (\mod m)\]
\[a x \equiv b(\mod m_i)\]

令\(x=pm + c\)，则有\(a p m + q m_i=b + ca\)，如果\((a m, m_i) \nmid b + ca\)无解，否则用扩展欧几里德解出\(p,q\)，进而得到\[x \equiv pm + c (\mod \frac {m_im} {(m_i, am)})\]

中国剩余定理

一些计数类题目的取模有可能不是质数，然后有一些神奇的性质用不了。

这时我们可以把模数\(m\)拆开为\[\prod {p_i}^k\]，其中\(P_i\)是质数。根据中国剩余定理的神奇性质，我们可以对每个 \({P_i}^k\)当作取模数计算一次答案，然后合并出最后的答案。

也就是，我们要解同余方程组：\[x\equiv b_i(\mod m_i)\]，这里所有\(m_i\)两两互素。

令\(M = \prod m_i,M_i = {M \over m_i}\)，那么\((m_i,M_i)=1\)，所以，我们可以解\[M_ip_i+m_iq_i=1\]，这时候，有个关键的事实：\[M_ip_i=1(\mod m_j) \iff j=i\]，这样的话，答案就是：\[\sum b_iM_ip_i\]

模意义下的幂

一个神奇定理，证明传送门。

\[a^b \equiv a ^{b \mod \phi(m) + \phi(m)} (\mod m),b>\phi(m)\]

做过的一些题目

POJ 1150 The Last Non-zero Digit

把\(2,5\)的因子抽出来，然后使用分治的手段统计数字模\(10\)后等于\(3,7,9\)的各个数量。

POJ 1284 Primitive Roots

求原根数量，好像有这样一个公式？\[\phi(\phi(m))\]
现在水平有限，不会证 。

POJ 2115 C Looooops

裸的扩展欧几里德。

POJ Recurrent Function

裸的同余方程组。

POJ 2720 Last Digits

用了上面的神奇定理（模下的幂）就简单了。

转载于:https://www.cnblogs.com/wangck/p/4587614.html