选带傅里叶变换(zoom-fft)

本文详细介绍了选带傅里叶变换的过程,包括移频、数字低通滤波、再次采样、复FFT及频率调整等步骤,并通过MATLAB程序实现对特定频率范围信号的分析。

选带傅里叶变换的原理大家能够看书。大致的步骤为

  1. 移频 (将选带的中心频率移动到零频)
  2. 数字低通滤波器  (防止频率混叠)
  3. 又一次採样  (将採样的数据再次间隔採样,间隔的数据取决于分析的带宽,就是放大倍数)
  4. 复FFT (因为经过了移频,所以数据不是实数了)
  5. 频率调整 (将负半轴的频率成分移到正半轴)

程序例如以下:

function [f, y] = zfft(x, fi, fa, fs)
% x为採集的数据
% fi为分析的起始频率
% fa为分析的截止频率
% fs为採集数据的採样频率
% f为输出的频率序列
% y为输出的幅值序列(实数)

f0 = (fi + fa) / 2;              %中心频率
N = length(x);                 %数据长度

r = 0:N-1;
b = 2*pi*f0.*r ./ fs;               
x1 = x .* exp(-1j .* b);          %移频

bw = fa - fi;                                        
                     
B = fir1(32, bw / fs);             %滤波 截止频率为0.5bw
x2 = filter(B, 1, x1);               

c = x2(1:floor(fs/bw):N);           %又一次採样
N1 = length(c);
f = linspace(fi, fa, N1);
y = abs(fft(c)) ./ N1 * 2;                         
y = circshift(y, [0, floor(N1/2)]);            %将负半轴的幅值移过来
end

应用实例:

fs = 2048;
T = 100;
t = 0:1/fs:T;
x = 30 * cos(2*pi*110.*t) + 30 * cos(2*pi*111.45.*t) + 25*cos(2*pi*112.3*t) + 48*cos(2*pi*113.8.*t)+50*cos(2*pi*114.5.*t);
[f, y] = zfft(x, 109, 115, fs);
plot(f, y);

效果:



### Zoom FFT 算法概述 Zoom FFT 是一种用于细化特定频带的快速傅里叶变换技术,其核心目标是在不显著增加计算复杂度的情况下提升感兴趣频带的频率分辨率。通过将信号下变频到基并对其进行抽取操作,可以有效减少数据量,从而降低后续标准 FFT 计算所需的资源消耗。 该算法的主要优势在于能够在保持较低计算成本的前提下,提供更高的频率分辨率[^2]。具体而言,Zoom FFT 的实现流程涉及以下几个关键环节: 1. **信号预处理**:输入信号首先经过下变频操作,将其感兴趣的频段移动到基上。这一过程通常利用复指数函数 \( e^{-j2\pi f_k t} \) 实现,其中 \( f_k \) 表示待细化频带的中心频率。 2. **低通滤波与降采样**:为了去除不需要的高频分量以及进一步压缩数据规模,在完成下变频之后会对信号施加低通滤波器,并按照指定的比例进行降采样。此步骤不仅减少了后续运算的数据量,还防止了因降采样引起的混叠效应。 3. **执行标准 FFT**:对经过上述两步处理后的信号实施常规 FFT 变换即可得到最终结果。由于此时的数据已经聚焦于某一窄区域,因此可以获得更精细的频率解析能力。 以下是基于 MATLAB 平台的一个典型实现案例: ```matlab function X_zoom = zoom_fft(x, fs, fl, fu, M) % x: 输入时间序列 % fs: 原始采样率 (Hz) % fl,fu: 频率范围边界 (Hz),分别对应低端和高端界限 % M: 所需输出点数 delta_f = (fu-fl)/M; % 新采样间隔对应的频率差值 fs_new = delta_f * length(x); % 调整后的新采样速率 f_c = (fl+fu)/2; % 中心频率位置 w = exp(-1i*2*pi*f_c/fs*(0:length(x)-1)); % 构造旋转因子向量 x_shifted = x .* w'; % 对原始信号应用频移 lp_filter = design_lowpass(fs_new, fs); % 设计匹配条件下的低通滤波器对象 x_filtered = filter(lp_filter.Numerator, 1, x_shifted); % 应用设计好的LPF decimation_factor = round(fs / fs_new); x_downsampled = downsample(x_filtered, decimation_factor); X_zoom = fft(x_downsampled,M); % 进行FFT转换 end ``` 这段代码定义了一个名为 `zoom_fft` 的函数来演示如何运用前述理论构建实际可用版本的 Zoom FFT 方法[^3]。注意这里采用了现代数字信号处理工具箱中的某些高级特性简化部分逻辑表达形式;如果读者希望完全手动控制每一步骤,则可能还需要额外补充更多细节说明。 ###
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