替罪羊树详解-优快云博客

替罪羊树

总结：

1、伸展树靠不停的旋转来保持平衡，treap的话用一个随机的东西保持平衡，而替罪羊树直接把不平衡的子树拍平，直接暴力重构来平衡

2、重构允许重构整棵替罪羊树，也允许重构替罪羊树其中的一棵子树。

3、替罪羊树可以和kd-tree结合使用

详解：

0x00 扯淡

知乎上面有个问题问最优雅的算法是什么，我觉得暴力即是优雅。

当然这里说的暴力并不是指那种不加以思考的无脑的暴力，而是说用繁琐而技巧性的工作可以实现的事，我用看似简单的思想和方法，也可以达到近似于前者的空间复杂度和时间复杂度，甚至可以更优，而其中也或多或少的夹杂着一些"LESS IS MORE"的思想在其中。

以下文章需要对普通二叉搜索树和Treap树（可选）有一定的了解，可以自行百度也可以等我出的一篇有关这个的文章。

0x01 替罪羊树[Scapegoat Tree]

对于一棵二叉搜索树，最重要的事情就是维护他的平衡，以保证对于每次操作（插入，查找，删除）的时间均摊下来都是 O(logN) 乃至 O(lgN) （红黑树，但是常数大而且难写，此处不展开介绍）。

为了维护树的平衡，各种平衡二叉树绞尽脑汁方法五花八门，但几乎都是通过旋转的操作来实现（AVL 树，红黑树，Treap 树（经@GadyPu 指正，可持久化Treap树不需要旋转） ，Splay…），只不过是在判断什么时候应该旋转上有所不同。但替罪羊树就是那么一棵特立独行的猪，哦不，是一只特立独行的树。

0x02 各种嘿嘿嘿的操作

重构

重构允许重构整棵替罪羊树，也允许重构替罪羊树其中的一棵子树。

重构这个操作看似高端，实则十分暴力（真）。主要操作就是把需要重构的子树拍平（由于子树一定是二叉搜索树，所以拍平之后的序列一定也是有序的），然后拎起序列的中点，作为根部，剩下的左半边序列为左子树，右半边序列为右子树，接着递归对左边和右边进行同样的操作，直到最后形成的树中包含的全部为点而不是序列（这样形成的一定是一棵完全二叉搜索树，也是最优的方案）。

这是一棵需要维护的子树，虽然目前不知道基于什么判断条件，但这棵是明显需要维护的。。

O(n) 拍平之后的结果，直接遍历即可。

子树的重构就完成了。

插入

插入操作一开始和普通的二叉搜索树无异，但在插入操作结束以后，从插入位置开始一层一层往上回溯的时候，对于每一层都进行一次判断 $h(v) > log(1/\alpha )(size(tree))$ ，一直找到最后一层不满足该条件的层序号（也就是从根开始的第一层不满足该条件的层序号），然后从该层开始重构以该层为根的子树（一个节点导致树的不平衡，就要导致整棵子树被拍扁，估计这也是“替罪羊”这个名字的由来吧）。

每次插入操作的复杂度为 $O(log_{n})$ ，每次重构树的复杂度为 O(n) ，但由于不会每次都要进行重构，也不会每次都重构一整棵树，所以均摊下来的复杂度还是 $O(log_{n})$ 。

$\alpha$ 在这里是一个常数，可以通过调整 $\alpha$ 的大小来控制树的平衡度，使程序具有很好的可控性。

------------- 2016/5/30 日更新-------------

为了测试 $\alpha$ 值的选取对于程序性能的影响，枚举了 (0.5,1) 这个区间内 $\alpha$ 的值，性能绘制成图标如下（数据采用BZOJ 6,7,8三组数据的3倍）

（测试结果如上）

由此可见， (0.5,1) 区间内 $\alpha$ 的取值对于程序性能并没有很大的影响，当然也有可能是我测试方法不当，

------------- 2016/6/1 日更新-------------

@dashgua，把测试数据进行了更改，全部改为1000000个节点按次序插入和逆序删除。

（测试结果如上）

对于取值越靠近两端的确速度越慢，但中间貌似还是没有什么差异。如果有好的数据构造方法希望能提出，一定会再次尝试，谢谢。

删除（惰性删除）

我觉得删除操作是替罪羊树中最好玩的地方，替罪羊树的删除节点并不是真正的删除，而是惰性删除（即给节点增加一个已经删除的标记，删除后的节点与普通节点无异，只是不参与查找操作而已）。当删除的数量超过树的节点数的一半时，直接重构！（屌丝和暴力属性 MAX ），可以证明均摊下来的复杂度还是 $O(log_{n})$ （作者太傻证明不来）。

查找第K大&查找数X的序号

和普通的二叉搜索树无异，但是需要注意标明被删除掉的节点不能被算入。

0x03 代码

以下是替罪羊树的模板，大部分操作直接调用成员函数就可以了。

#include <vector>
using namespace std; namespace Scapegoat_Tree { #define MAXN (100000 + 10) const double alpha = 0.75; struct Node { Node * ch[2]; int key, size, cover; // size为有效节点的数量，cover为节点总数量 bool exist; // 是否存在（即是否被删除） void PushUp(void) { size = ch[0]->size + ch[1]->size + (int)exist; cover = ch[0]->cover + ch[1]->cover + 1; } bool isBad(void) { // 判断是否需要重构 return ((ch[0]->cover > cover * alpha + 5) || (ch[1]->cover > cover * alpha + 5)); } }; struct STree { protected: Node mem_poor[MAXN]; //内存池，直接分配好避免动态分配内存占用时间 Node *tail, *root, *null; // 用null表示NULL的指针更方便，tail为内存分配指针，root为根 Node *bc[MAXN]; int bc_top; // 储存被删除的节点的内存地址，分配时可以再利用这些地址 Node * NewNode(int key) { Node * p = bc_top ? bc[--bc_top] : tail++; p->ch[0] = p->ch[1] = null; p->size = p->cover = 1; p->exist = true; p->key = key; return p; } void Travel(Node * p, vector<Node *>&v) { if (p == null) return; Travel