并查集

最新推荐文章于 2021-07-31 00:59:23 发布

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CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/zjushuiping/archive/2012/11/29/2794929.html

并查集：(union-find sets)

一种简单的用途广泛的集合. 并查集是若干个不相交集合，能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作，应用很多，如其求无向图的连通分量个数等。最完美的应用当属：实现Kruskar算法求最小生成树。

并查集的精髓（即它的三种操作，结合实现代码模板进行理解）：

1、Make_Set(x) 把每一个元素初始化为一个集合

初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身（也可以根据情况而变）。

2、Find_Set(x) 查找一个元素所在的集合

查找一个元素所在的集合，其精髓是找到这个元素所在集合的祖先！这个才是并查集判断和合并的最终依据。
判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。
合并两个集合，也是使一个集合的祖先成为另一个集合的祖先，具体见示意图

3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合

合并两个不相交集合操作很简单：
利用Find_Set找到其中两个集合的祖先，将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。如图

并查集的优化

1、Find_Set(x)时路径压缩
寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度，有没有办法减小这个复杂度呢？
答案是肯定的，这就是路径压缩，即当我们经过"递推"找到祖先节点后，"回溯"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了，如下图所示；可见，路径压缩方便了以后的查找。

2、Union(x,y)时按秩合并
即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。

l 主要代码实现

int father[MAX]; /* father[x]表示x的父节点*/
2

int rank[MAX]; /* rank[x]表示x的秩*/
3

/* 初始化集合*/
6

void Make_Set(int x)
7

{
8

father[x] = x; //根据实际情况指定的父节点可变化
9

rank[x] = 0; //根据实际情况初始化秩也有所变化
10

}
11

/* 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径*/
14

int Find_Set(int x)
15

{
16

if (x != father[x])
17

{
18

father[x] = Find_Set(father[x]); //这个回溯时的压缩路径是精华
19

}
20

return father[x];
21

}
22

/*
25

按秩合并x,y所在的集合
26

下面的那个if else结构不是绝对的，具体根据情况变化
27

但是，宗旨是不变的即，按秩合并，实时更新秩。
28

*/
29

void Union(int x, int y)
30

{
31

x = Find_Set(x);
32

y = Find_Set(y);
33

if (x == y) return;
34

if (rank[x] > rank[y])
35

{
36

father[y] = x;
37

}
38

else
39

{
40

if (rank[x] == rank[y])
41

{
42

rank[y]++;
43

}
44

father[x] = y;
45

}
46

}
47

注：学习并查集时非常感谢Slyar提供的资料，这里注明链接：http://www.slyar.com/blog/
另外，我认为写并查集时涉及到的路径压缩，最好用递归，一方面代码的可读性非常好，另一方面，可以更直观的理解路径压缩时在回溯时完成的巧妙。

下面问题来源于网络

新问题：

1、什么是回溯？

我觉得在压缩路径的时候用到的不是回溯法。

回溯法也称试探法，它的基本思想是：从问题的某一种状态（初始状态）出发，搜索从这种状态出发所能达到的所有“状态”，当一条路走到“尽头”的时候（不能再前进），再后退一步或若干步，从另一种可能“状态”出发，继续搜索，直到所有的“路径”（状态）都试探过。这种不断“前进”、不断“回溯”寻找解的方法，就称作“回溯法”。

这里查找集合的时候只有一条路径，不存在回溯问题。

2、什么是Kruskal算法求最小生成树？

基本思想：假设WN=(V,{E})是一个含有n个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含n个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有n棵树的一个森林。之后，从网的边集E中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有n-1条边为止。

3、秩是什么？

秩表示树的高度。（不知道理解的对不对）

4、当查找某元素在哪个集合的时候，如果进行路径压缩，那为什么元素的秩没有发生变化？

个人理解，因为路径压缩的存在，所以不需要按秩合并集合，只需要直接合并就可以了，rank[N]数组不需要存在。

转载于:https://www.cnblogs.com/zjushuiping/archive/2012/11/29/2794929.html