原码、补码、反码

一、机器数值和真值(以下引自博客园)

一个数在计算机中的二进制表示形式,  叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机中用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1。

比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。

所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1。

 

二、原码、补码、反码

1，原码

原码就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值，比如如果是8位二进制：

[+1]_原 = 0000 0001

[-1]_原 = 1000 0001

因为第一位是符号位，所以8位二进制数的取值范围就是：

[1111 1111 , 0111 1111] 即 [-127 , 127]

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式。

2，反码

反码的表示方法：正数的反码是其本身，负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反。

[+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反

[-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反

可见如果一个反码表示的是负数，人脑无法直观的看出来它的数值，通常要将其转换成原码再计算。

3，补码

补码的表示方法：正数的补码就是其本身，负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后+1。(即在反码的基础上+1)

[+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反 = [00000001]_补

[-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反 = [11111111]_补

对于负数，补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的，通常也需要转换成原码在计算其数值。

 

三、原码、反码、补码的作用

我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数，对于正数因为三种编码方式的结果都相同：

[+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反 = [00000001]_补

对于负数：

[-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反 = [11111111]_补

可见原码、反码和补码是完全不同的。既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式，为何还会有反码和补码呢？

首先，因为人脑可以知道第一位是符号位，在计算的时候我们会根据符号位，选择对真值区域的加减。但是对于计算机，加减乘数已经是最基础的运算，要设计的尽量简单，计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂！

于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。我们知道，根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数，即：1-1 = 1 + (-1) = 0， 所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了。

于是人们开始探索将符号位参与运算，并且只保留加法的方法。首先来看原码：

计算十进制的表达式： 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]_原 + [10000001]_原 = [10000010]_原 = -2

如果用原码表示，让符号位也参与计算，显然对于减法来说，结果是不正确的，这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。

为了解决原码做减法的问题，出现了反码：

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]_原 + [1000 0001]_原= [0000 0001]_反 + [1111 1110]_反 = [1111 1111]_反 = [1000 0000]_原 = -0

发现用反码计算减法，结果的真值部分是正确的，而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上。虽然人们理解上+0和-0是一样的，但是0带符号是没有任何意义的，而且会有[0000 0000]_原和[1000 0000]_原两个编码表示0，很浪费。

于是补码的出现，解决了0的符号以及两个编码的问题：

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]_原 + [1000 0001]_原 = [0000 0001]_补 + [1111 1111]_补 = [0000 0000]_补=[0000 0000]_原

总结：反码是为了解决减法运算，补码是为了解决反码产生的±0的问题。

PS：这里插入一点，[0000 0001]_补 + [1111 1111]_补结果是会溢出的，计算时都要溢出的，否则计算就会错误，补码也就没意义了。

这样0用[0000 0000]表示，而以前出现问题的-0则不存在了，而且可以用[1000 0000]表示-128：

(-1) + (-127) = [1000 0001]_原 + [1111 1111]_原 = [1111 1111]_补 + [1000 0001]_补 = [1000 0000]_补

-1-127的结果应该是-128，在用补码运算的结果中，[1000 0000]_补 就是-128。但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128，所以-128并没有原码和反码表示。(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]_原，这是不正确的)

因为机器使用补码，所以对于编程中常用到的32位int类型，可以表示范围是：[-2³¹, 2³¹-1]，因为第一位表示的是符号位，而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。

另如：

8位类型原码：[11111111] - [01111111]，即-127 - 127，但补码能多表示一个最小值(原码反码补码都是不同的表示方式，但最终的真值是一样的)，即8位类型数据可以表示的范围为：-128 - 127。

16位即[-2¹⁵, 2¹⁵-1]，32位即[-2³¹, 2³¹-1]

 

下面补充下几种常用位数的边界值：

8位无符号整数范围：[0 - 2⁸-1]，即[0 - 255]或[0 - 0xFF]

16位无符号整数范围：[0 - 2¹⁶-1]，即[0 - 65535]或[0 - 0xFFFF]

32位无符号整数范围：[0 - 2³²-1]，即[0 - 4294967295]或[0 - 0xFFFFFFFF]

 

8位有符号整数范围：[-2⁷- 2⁷-1]，即[-128 - 127]或[-0x80 - 0x7F]

16位有符号整数范围：[-2¹⁵ - 2¹⁵-1]，即[-32768 - 32767]或[0x8000 - 0x7FFF]

32位有符号整数范围：[-2³¹ - 2³¹-1]，即[-2147483648- 2147483647]或[0x80000000 - 0x7FFFFFFF]

 

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