[CF396E]On Iteration of One Well-Known Function

最新推荐文章于 2024-09-22 20:06:36 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/jefflyy/p/8660363.html

本文介绍了一种高效计算多次应用欧拉函数后的结果的方法。通过筛选质数，并针对每个质因数进行处理，实现了对任意正整数n的欧拉函数的多次迭代计算。

题意：给定$n=\prod\limits_{i=1}^mp_i^{a_i}$，求$\varphi\left(\cdots\varphi\left(n\right)\cdots\right)$（有$k$个$\varphi$）

因为$\varphi(n)=n\prod\limits_{i=1}^m\dfrac{1-p_i}{p_i}$，所以每次对一个数$n$取$\varphi$，就相当于对它的每个质因数$p$，把$n$乘上$\dfrac{p-1}p$

先筛出$10^6$内的质数，然后对$n$的每一个的质因子分别考虑

记$c_p$为当前$n$的质因数分解式中$p$的指数，$k_p$为还要对$p$这个指数执行多少次$\varphi$，每次比较$c$和$k$，可以一次执行$t=\min(c_p,k_p)$次$\varphi$（一次砍掉$t$个$p$），再把$(p-1)^t$的质因数分解加到对应的$c$即可

这样做会带来一个问题：我们执行$\varphi$时必须要用$n$的质因子$p$，而用到的$p$可能来自最近的几次质因数分解$p-1$，而这几次分解并未完全分解，所以我们对于某些执行$\varphi$多次的$p$要暂缓执行（等待之前的$p-1$被分解完），记$skip_p$表示对于$p$要跳过多少次执行$\varphi$，每次如果可以执行，那么就用$t-1$更新$skip_p$（执行完这次，还要等待$t-1$波分解其他质因子就可以继续了），否则按$skip_p$跳过几次，这样可以保证每次执行$\varphi$都优先使用原来的$p$，最后再把$p-1$分解留到以后使用

数据范围很吓人，可是这样是挺快的2333（因为如果要执行$\varphi$一次就是$\min(c_p,k_p)$，所以这两个数都减小得很快）

2018.3.28补充一些东西

$\varphi\left(\prod\limits_{i=1}^kp_i^{a_i}\right)=\prod\limits_{i=1}^k\varphi\left(p_i^{a_i}\right)=\prod\limits_{i=1}^kp_i^{a_i-1}\left(p_i-1\right)$

第一次取$\varphi$，我们可以对每个质因数分开考虑，之后的取$\varphi$操作就要小心了，如果我们对原来的$p_i$执行$\varphi$，由此产生的$p_i-1$分解之后会加到更小的$p_i$上

所以，①我们要从小到大枚举$p_i$做$\varphi$操作（因为$p_i-1$分解成更小的质数）②一次性对$p_i$做完$t$次$\varphi$之后，接下来如果当前没有$p_i$这个因子，我们要跳过这些操作（总共跳过$t-1$次）而不是直接把$k_{p_i}-1$（因为接下来同一阶段的其他的$p_i-1$分解之后有可能落到这里，我们不能忽略掉这些“新来的”$p_i$）

#include<stdio.h>
typedef long long ll;
const int T=1000000;
int p[1000010],f[1000010];
ll c[1000010],k[1000010],skip[1000010];
ll min(ll a,ll b){return a<b?a:b;}
int main(){
	int m,M,i,j,x;
	ll t;
	bool flag;
	for(i=2;i<=T;i++){
		if(f[i]==0){
			M++;
			p[M]=i;
			f[i]=i;
		}
		for(j=1;p[j]<=f[i]&&p[j]*i<=T&&j<=T;j++)f[p[j]*i]=p[j];
	}
	scanf("%d",&m);
	while(m--){
		scanf("%d",&x);
		scanf("%I64d",c+x);
	}
	scanf("%I64d",&t);
	for(i=1;i<=T;i++)k[p[i]]=t;
	do{
		flag=0;
		for(i=1;i<=T;i++){
			x=p[i];
			if(c[x]){
				if(k[x]==0)continue;
				t=min(c[x],k[x]);
				c[x]-=t;
				k[x]-=t;
				skip[x]+=t-1;
				flag=1;
				x--;
				while(x>1){
					c[f[x]]+=t;
					x/=f[x];
				}
			}else if(skip[x])
				skip[x]--;
			else if(k[x])
				k[x]--;
		}
	}while(flag);
	x=0;
	for(i=1;i<=T;i++){
		if(c[p[i]])x++;
	}
	printf("%d\n",x);
	for(i=1;i<=T;i++){
		if(c[p[i]])printf("%d %I64d\n",p[i],c[p[i]]);
	}
}

转载于:https://www.cnblogs.com/jefflyy/p/8660363.html