「NowCoder Contest 295」H. Playing games

最新推荐文章于 2022-08-17 12:37:46 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/DreamlessDreams/p/10048324.html

本文探讨了在NowCoder Contest 295中H题Playing games的解决方案，介绍了如何利用线性基思想和快速沃尔什-哈达玛变换（FWT）来优化算法，实现O(nlogn)的时间复杂度，特别关注于如何减少计算次数并有效验证答案。

还是见的题太少了

「NowCoder Contest 295」H. Playing games

题意：选出尽量多的数使得异或和为$ 0$

$ Solution:$

问题等价于选出尽量少的数使得异或和为全集

根据线性基思想可以推得整个集合的异或集合可以被不超过$ bitcount$个数的异或集合表示

因此答案也不超过$ bitcount$

对于原集合我们做若干次$ FWT$

每次把当前异或集合卷上初始集合

复杂度$ O(n \ log^2 \ n)$

足以通过本题

但是还不够

我们发现我们只是想知道$ FWT$数组中某一位上的值

设$ f’$是数组$ f$的$FWT$数组

有$ f_S=\frac{1}{2^n} \sum\limits f'_T(-1)^{|S\cap T|}$

这样我们只需要初始对原数组$ FWT$一次

期间一直用点值表达式进行计算

然后单词$ O(n)$验证即可

时间复杂度:$ O(n \ log \ n)$

$ my \ code$

#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define p 998244353
#define rt register int
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read(){
    ll x = 0; char zf = 1; char ch = getchar();
    while (ch != '-' && !isdigit(ch)) ch = getchar();
    if (ch == '-') zf = -1, ch = getchar();
    while (isdigit(ch)) x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar(); return x * zf;
}
void write(ll y){if(y<0)putchar('-'),y=-y;if(y>9)write(y/10);putchar(y%10+48);}
void writeln(const ll y){write(y);putchar('\n');}
int i,j,k,m,n,x,y,z,cnt,invn;
int ksm(int x,int y){
    int ans=1;
    for(rt i=y;i;i>>=1,x=1ll*x*x%p)if(i&1)ans=1ll*x*ans%p;
    return ans;
}
void FWT(int n,int *A,int fla){
    for(rt i=1;i<n;i<<=1)
    for(rt j=0;j<n;j+=i<<1)
    for(rt k=0;k<i;k++){
        const int x=A[j+k],y=A[i+j+k];
        A[j+k]=(x+y)%p,A[i+j+k]=(x-y)%p;
    } 
    if(fla==-1)for(rt i=0;i<n;i++)A[i]=1ll*A[i]*invn%p; 
}
int a[524299],b[524299];
int main(){
    n=read();int s=0;
    for(rt i=1;i<=n;i++){
        x=read();s^=x;
        a[x]=1;
    }
    int lim=524288;invn=ksm(lim,p-2);
    a[0]=1;FWT(lim,a,-1);
    for(rt i=0;i<lim;i++)b[i]=1;
    for(rt i=0;i<=20;i++){
        ll ans=0;
        for(rt j=0;j<lim;j++)if(__builtin_popcount(j&s)&1)ans+=b[j];else ans-=b[j];
        if(ans%p){
            cout<<n-i;
            break;
        }
        for(rt j=0;j<lim;j++)b[j]=1ll*a[j]*b[j]%p;
    }
    return 0;
}