codeforces 256ELucky Arrays(线段树)

CodeForces 256E 题解
本文详细解析了 CodeForces 平台上的 256E 题目,通过使用线段树算法解决了一个关于数列和01矩阵的复杂问题。介绍了如何在线段树节点中保存特定状态,实现高效更新和查询,最终求解出所有可能的组合。

题目链接:http://codeforces.com/problemset/problem/256/E

题意:给出一个数列,开始全是0。给出一个3*3的01矩阵p,定义p[i][j]=1表示(i,j)是Good。现在有m个操作,x y,表示将数列第x个位置上的数字改为y(0<=y<=3)。问改完后,有多少种方式将数列中现有的0改为1到3中任意一个数字使得数列中相邻两个数字的组合都是Good。

思路:线段树节点保存a[i][j],表示该段中以i开始以j结束的方式有多少种。



struct node
{
    int L,R,mid,a[4][4];

    void init()
    {
        clr(a,0);
        a[1][1]=a[2][2]=a[3][3]=1;
    }
};

const int mod=777777777;
const int MAX=77777;
node a[MAX<<2];
int n,m,p[4][4];

void cal(int t)
{
    int i,j,x,y;
    i64 temp;
    for(i=1;i<=3;i++) for(j=1;j<=3;j++)
    {
        a[t].a[i][j]=0;
        for(x=1;x<=3;x++) for(y=1;y<=3;y++) if(p[x][y])
        {
            temp=(i64)a[t*2].a[i][x]*a[t*2+1].a[y][j]%mod;
            a[t].a[i][j]=(a[t].a[i][j]+temp)%mod;
        }
    }
}

void build(int t,int L,int R)
{
    a[t].L=L;
    a[t].R=R;
    a[t].mid=(L+R)>>1;
    if(L==R)
    {
        a[t].init();
        return;
    }
    build(t*2,L,a[t].mid);
    build(t*2+1,a[t].mid+1,R);
    cal(t);
}

void update(int t,int x,int y)
{
    if(a[t].L==x&&a[t].R==x)
    {
        if(y==0) a[t].init();
        else
        {
            clr(a[t].a,0);
            a[t].a[y][y]=1;
        }
        return;
    }
    if(x<=a[t].mid) update(t*2,x,y);
    else update(t*2+1,x,y);
    cal(t);
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=-1)
    {
        int i,j;
        for(i=1;i<=3;i++) for(j=1;j<=3;j++)
        {
            scanf("%d",&p[i][j]);
        }
        build(1,1,n);
        i64 ans;
        while(m--)
        {
            scanf("%d%d",&i,&j);
            update(1,i,j);
            ans=0;
            for(i=1;i<=3;i++) for(j=1;j<=3;j++)
            {
                ans=(ans+a[1].a[i][j])%mod;
            }
            printf("%I64d\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}

  

### 线段树优化建图的实现方法与应用 线段树优化建图是一种在图论中用于处理大规模区间连边问题的技术,尤其适用于最短路、网络流等场景。其核心思想是利用线段树的结构来减少节点和边的数量,从而降低时间和空间复杂度。 #### 实现方法 在线段树优化建图中,每个点通常被分为入点(in)和出点(out)。例如,对于一个点 $ u $,将其拆分为 $ u_{\text{in}} $ 和 $ u_{\text{out}} $。接下来,构建两棵线段树:**入树**(维护入点)和**出树**(维护出点)[^2]。 - **出树**中的非根节点向其父节点连一条权值为0的有向边。 - **入树**中的非叶子节点向其左右儿子连一条权值为0的有向边。 - 对于原图中的每个点,连接一条从出点到入点的无向边,以防止一些异常情况的发生。 当需要对某个区间进行连边时,可以通过线段树的结构快速定位相关节点并建立连接。例如: - 如果是从一个点向另一个点连边,则直接连接对应的两个叶子节点。 - 如果是从一个点向一个区间连边,则将该点的出点连接到入树中对应区间的节点。 - 如果是从一个区间向一个点连边,则将出树中对应区间的节点连接到该点的入点。 - 如果是从一个区间向另一个区间连边,则引入一个虚拟节点,分别从出树中的节点连接到虚拟节点,并从虚拟节点连接到入树中的节点[^4]。 这种方法避免了传统暴力建图中 $ O(MN^2) $ 的时间复杂度,大大提升了效率。 #### 应用场景 线段树优化建图广泛应用于以下场景: 1. **最短路径问题**:如 Codeforces Round #406 (Div. 1) B. Legacy 题目中,使用线段树优化建图可以高效地处理区间连边问题,从而求解最短路径[^4]。 2. **网络流问题**:在某些网络流模型中,尤其是在涉及大量区间操作的情况下,线段树优化建图能够显著减少图的规模,提高算法效率[^2]。 3. **2-SAT问题**:在某些复杂的2-SAT问题中,线段树优化建图可以帮助更高效地处理变量之间的约束关系,例如 ARC069F Flags 问题中就使用了线段树优化建图结合二分法求解[^5]。 #### 示例代码 以下是一个简单的线段树优化建图的伪代码示例,展示如何构建出树并连接边: ```python class SegmentTreeNode: def __init__(self, left, right): self.left = left self.right = right self.left_child = None self.right_child = None self.parent = None def build_segment_tree(l, r): node = SegmentTreeNode(l, r) if l == r: return node mid = (l + r) // 2 node.left_child = build_segment_tree(l, mid) node.right_child = build_segment_tree(mid + 1, r) node.left_child.parent = node node.right_child.parent = node # 出树中非根节点向父节点连边(权值为0) add_edge(node.left_child, node, 0) add_edge(node.right_child, node, 0) return node def add_edge(u, v, weight): # 添加从u到v的有向边,权值为weight pass ``` 上述代码仅展示了出树的构建过程,实际应用中还需要构建入树,并根据具体问题添加相应的边。 ---
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