1109A - Sasha and a Bit of Relax

A. Sasha and a Bit of Relax

source: codeforces
tag: dp implementation

这道题的重点在于

• 对亦或位运算(⊕或^)的理解，位运算中，亦或 = 加(不进位) = 减(不借位)。因此变换含有多个⊕符号的式子时，可以把他当成减号/加号来处理。
• 对于亦或等式变换的能力
• 对于pref的理解(pref_i就是从a_1一直亦或到a_i的一长串变量相亦或得到的结果)

思路

首先从题目得到：

a_l ⊕ a_(l+1) ⊕ …… ⊕ a_mid = a_(mid+1) ⊕ a_(mid+2) ⊕ …… ⊕ a_r

左边和右边称为一对funny pair，我们的任务是找出输入数组里面有多少对这样的funny pair。

由亦或运算的特性，两边相等，亦或出来的结果为0 (eg. 1⊕1=0)，可以得到：

a_l ⊕ a_(l+1) ⊕ …… ⊕ a_r = 0

现在的任务变成了：数组中有多少对数能够取(l,r), 使得r-l+1为偶数且满足上述从l到r亦或和=0的式子。

我们定义

pref_i = a_1 ⊕ a_2 ⊕ …… ⊕ a_i

通过 pref_r ⊕ pref_l-1, 我们可以得到a_l ⊕ a_(l+1) ⊕ …… ⊕ a_r， 因此，只要满足pref_r ⊕ pref_l-1 = 0, 那么即可以得到我们一开始所求的pref_r = pref_l-1。

现在的任务变成了：数组中有多少对，能够使r-l+1为偶数且满足pref_r = pref_l-1

实现

先定义变量，n代表输入数组的长度，a[]代表输入数组，x表示pref(下标和当前亦或的a[i]的i相同)，cnt是一个二维数组，第一维表示奇偶，第二维表示曾经达到过异或和(pref)为x的次数，res表示统计的funny pair对数(只有在cnt[i%2][x]里面有东西时才会增加，否则只是加0)。

• 为了满足r-l+1为偶数，我们采取奇偶分治的策略：l-1和r的奇偶必定一样，否则l到r总共不为偶数个，不足成pair。因为为了满足l-1到r为偶数，我们认为l-1和r的奇偶性一致。

• 我们定义了一个二维数组，第一维长度为2，[0]、[1]分别代表l-1/r为偶、奇。第二维我们取长度为(1<<20)+3 ，都全置为0，代表pref的结果。

• 如果输入数组中，有相同第一维(l-1/r奇偶性相同，满足偶数项)，并且pref结果也相同的不同位置，那么这两个位置之间(不包括[l-1]但包括[r])能够组成一对funny pair，res需要自加上代表他们重合的数字，即cnt[i%2][x]的值(本来的值应该为0，只有在[l-1]给这个cnt[i%2][x]加1之后，在[r]才可能加上非零的值)

• 代码

var n=readline(); // 读取数组长度n
var a=readline().split(' '); // 读取数组
a=a.slice(0,n); // 将数组长度设为n
var cnt= []; // 初始化cnt数组
cnt.length=2; // cnt数组第一维长度为2
for(var k=0; k<2; k++){
    cnt[k] = []; // cnt数组第二维
    cnt[k].length=(1<<20)+3; // 第二维长度
    cnt[k].fill(0); // 全部置0
}

cnt[1][0]=1; // 给奇数数组的那一边的第一个pref设为1，因为pref_1=1;
var res=0; // res变量用来存储变量
var x=0; // 当前i的pref=0
for(var i=0; i<n; ++i){
    x^=a[i]; // 和数组的第i个元素a[i]的亦或，即前i个元素的亦或和
    res+=cnt[i%2][x]; 
    // x=pref_i，即从0到n所有pref_i的值
    // 如果其中有两个相等的话（即pref_r=pref_l-1)，就会被加到res中去
    ++cnt[i%2][x]; // 和这个pref的值相等次数+1
}

print(res);
复制代码

在codeforces的js引擎中，readline()代表输入，print()代表打印。

• 测试

Input
5
1 2 3 4 5
Output
1
Expected Answer
1

转载于:https://juejin.im/post/5c9b248ae51d453ae4572c7a