Luogu3600 随机数生成器

最新推荐文章于 2023-07-17 21:29:31 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/cjoieryl/p/8665132.html

本文介绍了一种解决区间概率问题的方法，通过枚举最大值计算包含特定条件的区间概率，并利用差分思想优化计算过程。文章还提供了一个具体的实现代码示例。

题面

传送门

Sol

$sto \ \$ $fdf$
$sto \ \$ $fateice$

显然，如果一个区间包含了另一个区间，那么它的最小值不会有贡献，直接去掉

考虑枚举最大值$k$
求出所有区间满足最小值小于等于$k$的概率，设为$P[k]$
那么$k$的贡献就是$(P[k]-P[k-1])*k$，相当于差分了一下

然后考虑算出$P[k]$
设$f[i]$表示到$i$时，所有右端点都小于等于$i$的区间都满足要求的概率
枚举右端点在$i$的所有左端点$j$
枚举在哪里弄一个小于等于$k$的
\[f[i]=\sum_{l=j}^{i}f[l-1]*(\frac{k}{x})*(1-\frac{k}{x})^{i-l}\]

枚举的这个点之前的随便选，而后面的只能选大于$k$的
这样才能做到不重复计算，因为如果后面的也随便选，那么会和之前的有交集
然后这是$n^3x$的，~~居然过了~~
$n,x<=2000$

把上面的转移式拆一下，把$f[l-1]*(1-\frac{k}{x})^{-l}$做个前缀和就好了
特别注意如果$i=l$并且$k=x$时，$(1-\frac{k}{x})^{i-l}$要当成$1$
那么特判一下就好了

$fdf$ $ orz$
$fateice$ $ orz$

# include <bits/stdc++.h>
# define RG register
# define IL inline
# define Fill(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int _(2005);
const int Zsy(666623333);

IL int Input(){
    RG int x = 0, z = 1; RG char c = getchar();
    for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) z = c == '-' ? -1 : 1;
    for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);
    return x * z;
}

int n, x, Q, tp, f[_], g[_], ans, first[_], nxt[_], inv;
struct Query{
    int l, r;

    IL int operator <(RG Query B) const{
        return l != B.l ? l < B.l : r < B.r;
    }
} tmp[_], q[_];

IL int Pow(RG ll x, RG ll y){
    RG ll ret = 1;
    for(; y; y >>= 1, x = x * x % Zsy)
        if(y & 1) ret = ret * x % Zsy;
    return ret;
}

IL void Upd(RG int &x, RG int y){
    x += y;
    if(x >= Zsy) x -= Zsy;
}

IL int Sum(RG int l, RG int r){
    return (g[r] - (l < 0 ? 0 : g[l]) + Zsy) % Zsy;
}

IL int Calc(RG int v){
    RG int p1 = 1LL * inv * v % Zsy, p2 = (1 + Zsy - p1) % Zsy, p3 = Pow(p2, Zsy - 2);
    Fill(g, 0), Fill(f, 0), g[0] = p3, f[0] = 1;
    for(RG int i = 1; i <= n; ++i){
        for(RG int p = first[i]; p; p = nxt[p]){
            if(i > q[p].l) Upd(f[i], 1LL * Sum(q[p].l - 2, i - 2) * p1 % Zsy * Pow(p2, i) % Zsy);
            Upd(f[i], 1LL * f[i - 1] * p1 % Zsy);
        }
        if(!first[i]) f[i] = f[i - 1];
        g[i] = g[i - 1], Upd(g[i], 1LL * f[i] * Pow(p3, i + 1) % Zsy);
    }
    return f[n];
}

int main(RG int argc, RG char *argv[]){
    n = Input(), x = Input(), tp = Input(), inv = Pow(x, Zsy - 2);
    for(RG int i = 1; i <= tp; ++i) tmp[i] = (Query){Input(), Input()};
    sort(tmp + 1, tmp + tp + 1);
    for(RG int i = 1; i <= tp; ++i){
        while(q[Q].r >= tmp[i].r) --Q;
        if(tmp[i].l > q[Q].l) q[++Q] = tmp[i];
    }
    for(RG int i = 1; i <= Q; ++i) nxt[i] = first[q[i].r], first[q[i].r] = i;
    for(RG int i = 1, lst = 0; i <= x; ++i){
        RG int now = Calc(i);
        ans = (ans + 1LL * i * ((now - lst + Zsy) % Zsy) % Zsy) % Zsy;
        lst = now;
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

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