[AHOI2001]质数和分解-优快云博客

本文介绍了一种计算特定自然数能以多少种不同质数之和表示的方法。通过构造普通母函数并采用01背包算法进行离线预处理，实现对数据范围内任意输入值的快速查询。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

任何大于 1 的自然数 n 都可以写成若干个大于等于 2 且小于等于 n 的质数之和表达式(包括只有一个数构成的和表达式的情况)，并且可能有不止一种质数和的形式。例如，9 的质数和表达式就有四种本质不同的形式：

9 = 2 + 5 + 2 = 2 + 3 + 2 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 7 。

这里所谓两个本质相同的表达式是指可以通过交换其中一个表达式中参加和运算的各个数的位置而直接得到另一个表达式。

试编程求解自然数 n 可以写成多少种本质不同的质数和表达式。

输入输出格式

输入格式：

文件中的每一行存放一个自然数 n(2 < n < 200) 。

输出格式：

依次输出每一个自然数 n 的本质不同的质数和表达式的数目。

输入输出样例

输入样例#1：

2
200

输出样例#1：

1
9845164

【基于原理】：

构造如下普通母函数：

G(x)= (1+x²+x⁴+x⁶+……)* (1+x³+x⁶+x⁹+……)*(1+x⁵+x¹⁰+x¹⁵+……)*……

【实现】：

01背包统计方案数

ps:数据范围较小。离线预处理，O(1)查询。

#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=205;
int n,tot,prime[N],f[N];bool check[N];
void prepare(){
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(!check[i]) prime[++tot]=i;
        for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<N;j++){
            check[i*prime[j]]=1;
            if(!(i%prime[j])) break;
        }
    }
}
int main(){
    prepare();
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<47;i++){
        for(int j=prime[i];j<=200;j++){
            f[j]+=f[j-prime[i]];
        }
    }
    while(scanf("%d",&n)==1) printf("%d\n",f[n]);
    return 0;
}