两类数学归纳法及斐波那契通项的证明

本文介绍了第一类和第二类数学归纳法,并通过实例详细阐述了这两种归纳法的证明过程。同时,文章使用第二类数学归纳法证明了斐波那契数列的通项公式,展示了数学归纳法在解决递推关系问题中的应用。

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以前上学的时候没有学好数学归纳法,最近又学习了一下,其实数学归纳法有好几种,这里介绍的是第一类数学归纳法和第二类数学归纳法

第一类数学归纳法

百度上是这么解释的:

第一数学归纳法可以概括为以下三步:
(1)证明n=1时命题成立;
(2)假设n=k时命题成立;
(3)由归纳假设推出n=k+1时命题也成立

高中的时候不是很理解这其中的道理。
通常证明第1点很容易,将n=1代入给定的式子就可以得证。现在作为证明人,我们这样假设:假设n=k时成立,有了这个假设,如果我们以此推出了n=k+1时也成立,那么命题得证。

这其中的道理何在呢:这样的题无非是想让我们证明对于所有的n(如果n为正整数,则n=1,n=2,n=3……)命题都成立。我们已然证明了n=1时成立,根据假设n=k成立,我们又能证明n=k+1时也成立,
这意味我们可以将k=1代入,得出n=2命题成立,将k=2代入,得出n=3时命题成立……依次类推,可以得出对所有的正整数都成立,这是一种非常直观的感觉。
光有感觉不行,我们得证明这种归纳是正确的:
假设确实有那么一些数,使得命题不成立,设这些数构成的集合为S,取S中的最小的那个数m,我们知道m-1是可以让命题成立的(因为m-1在S之外),由于我们之前已经证明如果n=k成立,是可以推出n=k+1也成立的,所以m-1成立肯定也能推出m成立,
得出矛盾。

高中接触的是第一类归纳法,现在来用它证明等差数列前n项和公式:
432037-20171103151001013-1782702927.gif
证明:
n=1时,左边等于右边,命题成立
假设n=k时成立,即
432037-20171103151029591-1677555206.gif,等式两边同时加上k+1得

432037-20171103151049091-106946949.gif
即我们由n=k命题成立可以推出n=k+1使得命题成立,故命题得证

第二类数学归纳法

(1)当n=1时,命题成立;
(2)假设当n≤k(k∈N)时,命题成立,由此可推得当n=k+1时,命题也成立。那么命题对于一切正整数n来说都成立。

其正确性的证明类似第一类数学归纳的证明:
假设存在使得命题不正确的数集S,则S中必然存在最小的一个数m,由于m-1可让命题为真,由条件可知m也可让命题为真,得出矛盾。

斐波那契通项的证明

斐波那契数列是这样的数列:0,1,1,2,3,5,8……,即f(0)=0,f(1)=1,f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n>=2)。我们设:
432037-20171103151300154-685112165.gif

432037-20171103151313748-968644039.gif

证明:
432037-20171103151324498-740713187.gif

我先用第二类数学归纳法证明:
当n=1时,432037-20171103151341045-1435522671.gif,命题成立
假设n<=k-1时成立,结合斐波那契数列的定义我们有:

432037-20171103151358888-673315741.gif

命题得证

该命题不可以用第一类数学归纳法来证明。我们由斐波纳契的通项公式可发现,这是一个递推式,即f(n)推导依赖于其前两项,就是由“小的”可以推出“大的”,
这正契合了第二类归纳法中由n<=k-1推出n=k的情况,正是我们假设n<=k-1成立,自然也就假设了n=k-1,n=k-2也成立,而恰恰这两项的和是n=k这一项,再结合1+1/a=a和
1+1/b=b,从而得出证明,可谓巧妙。

  • 本文的数学公式用的是一个在线编辑器,如果你有更好的方式,欢迎告知,谢谢。

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