两类数学归纳法及斐波那契通项的证明

本文来源于博客园，转载请注明出处

以前上学的时候没有学好数学归纳法，最近又学习了一下，其实数学归纳法有好几种，这里介绍的是第一类数学归纳法和第二类数学归纳法

第一类数学归纳法

百度上是这么解释的：

第一数学归纳法可以概括为以下三步：
(1)证明n=1时命题成立；
(2)假设n=k时命题成立；
(3)由归纳假设推出n=k+1时命题也成立

高中的时候不是很理解这其中的道理。
通常证明第1点很容易，将n=1代入给定的式子就可以得证。现在作为证明人，我们这样假设：假设n=k时成立，有了这个假设，如果我们以此推出了n=k+1时也成立，那么命题得证。

这其中的道理何在呢：这样的题无非是想让我们证明对于所有的n（如果n为正整数，则n=1，n=2，n=3……）命题都成立。我们已然证明了n=1时成立，根据假设n=k成立，我们又能证明n=k+1时也成立，
这意味我们可以将k=1代入，得出n=2命题成立，将k=2代入，得出n=3时命题成立……依次类推，可以得出对所有的正整数都成立，这是一种非常直观的感觉。
光有感觉不行，我们得证明这种归纳是正确的：
假设确实有那么一些数，使得命题不成立，设这些数构成的集合为S，取S中的最小的那个数m，我们知道m-1是可以让命题成立的（因为m-1在S之外），由于我们之前已经证明如果n=k成立，是可以推出n=k+1也成立的，所以m-1成立肯定也能推出m成立，
得出矛盾。

高中接触的是第一类归纳法，现在来用它证明等差数列前n项和公式：

证明：
n=1时，左边等于右边，命题成立
假设n=k时成立，即
，等式两边同时加上k+1得

即我们由n=k命题成立可以推出n=k+1使得命题成立，故命题得证

第二类数学归纳法

（1）当n=1时，命题成立；
（2）假设当n≤k（k∈N）时，命题成立，由此可推得当n=k+1时，命题也成立。那么命题对于一切正整数n来说都成立。

其正确性的证明类似第一类数学归纳的证明：
假设存在使得命题不正确的数集S，则S中必然存在最小的一个数m，由于m-1可让命题为真，由条件可知m也可让命题为真，得出矛盾。

斐波那契通项的证明

斐波那契数列是这样的数列：0，1，1，2，3，5，8……，即f(0)=0,f(1)=1,f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n>=2)。我们设：

证明：

我先用第二类数学归纳法证明：
当n=1时，，命题成立
假设n<=k-1时成立，结合斐波那契数列的定义我们有：

命题得证

该命题不可以用第一类数学归纳法来证明。我们由斐波纳契的通项公式可发现，这是一个递推式，即f(n)推导依赖于其前两项，就是由“小的”可以推出“大的”，
这正契合了第二类归纳法中由n<=k-1推出n=k的情况，正是我们假设n<=k-1成立，自然也就假设了n=k-1，n=k-2也成立，而恰恰这两项的和是n=k这一项，再结合1+1/a=a和
1+1/b=b，从而得出证明，可谓巧妙。

• 本文的数学公式用的是一个在线编辑器，如果你有更好的方式，欢迎告知，谢谢。

本文来源于博客园，转载请注明出处

转载于:https://www.cnblogs.com/qzhforthelife/p/6691660.html