数据结构与算法-学习笔记（六）-优快云博客

递归

递归就是求解问题的一种固定编程方式。它的思路就是将问题一层层往外递出去，直到遇到出口后，再一层层向里回归答案。最终得出结果。而每次递出的问题还是用同样的方式解决。

递归需要满足的三个条件

什么样的问题可以用递归来解决呢？

一个问题的解可以分解成几个子问题的解，子问题解决了，大问题也就解决了：子问题（数据规模更小的问题）。例如：根据n-1时的解求n的解；分治问题。
这个问题与分解之后的子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样。
存在递归终止条件：某个数据规模时可以直接得到答案了，不需要继续传递。也就是有了出口。

如何编写递归代码

找到递推关系（例：由n-1推出n），找到终止条件。

例如：有n个台阶，每次可以跨1个台阶或2个台阶，问走完n个台阶有多少种走法？

思路：开始走第一步时有两种走法：1个台阶或两个台阶。那么

n个台阶的总走法 = 以1个台阶开头的剩余n-1个台阶的走法 + 以2个台阶开头的剩余n-2个台阶的走法；

依次递推n-1个台阶的走法和n-2个台阶的走法都可以用上面的公式。

总结公式：f(n) = f(n-1) + f(n-2);

找到了递推公式，再找终止条件：当n=？时，可以直接得到具体数据。很容易想到当n=1时只有一种走法f(1) = 1然而根据?的递推公式，它是由两个条件推出来的，因此n=2时，不好再用递推公式，也要用作出口直接得出数据。

f(1) = 1;
f(2) = 2;
f(n) = f(n-1)+f(n-2)
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代码就很容易了：

int f(int n) {
    if(n==1) return 1;
    if(n==2) return 2;
    return f(n-1) + f(n-2);
}
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为什么用递归

当数据规模很大时，人脑可能无法一步步循环，一层层往下掉，在一层层返回，计算出问题的结果，但是计算机可以。计算机善于做重复的计算，所以递归正迎合了这点。

因此当思考一个问题A的解时，可以分解成若干子问题B、C、D，可以假设B、C、D都已经解决了，那么如何通过B、C、D的解获得A的解呢？具体的递归细节不用每一步都想清楚。

如?问题，如果我知道了n-1个台阶的走法和n-2个台阶的走法，那很容易就知道n个台阶的走法了。

递归代码要警惕堆栈溢出

根据前面所学的栈的知识，会发现递归函数很容易出现栈溢出的问题，所以当数据规模较大时，递归并不适用。

递归代码要警惕重复计算

有些数据重复计算了，解决的办法可以创建一个map来存储计算过的值。

public int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  
  // hasSolvedList 可以理解成一个 Map，key 是 n，value 是 f(n)
  if (hasSolvedList.containsKey(n)) {
    return hasSovledList.get(n);
  }
  
  int ret = f(n-1) + f(n-2);
  hasSovledList.put(n, ret);
  return ret;
}
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除了以上两个常见问题，递归还有很多别的问题。

在时间效率上，递归代码多了很多函数调用；在空间效率上，每次调用都会在栈中保存一次数据，因此空间复杂度也上去了。

如何将递归代码改写为非递归代码呢？

int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  
  int ret = 0;
  int pre = 2;
  int prepre = 1;
  for (int i = 3; i <= n; ++i) {
    ret = pre + prepre;
    prepre = pre;
    pre = ret;
  }
  return ret;
}
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这就是一个到这考虑的过程，由n=1算出n =2的解，再又2->3->4....->n，最终变成了循环的方式求解，和递归也差不多。

如何调试递归代码

打印日志发现递归值；
结合条件断点进行调试。

递归代码的时间复杂度

递归使用的场景：求解一个大问题a可以分解成求解多个子问题b、c。那么a的执行时间就应该等于子问题执行时间的合并结果。

T(a) = T(b) + T(c) + K // k等于将子问题结果合并的时间
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因此，不仅递归求解问题可以写递推公式，递推代码的时间复杂度也可以写成递推公式。