Hdu-6253 2017CCPC-Final K.Knightmare 规律

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#数据结构与算法

本文探讨了一道关于无限大棋盘上象棋中马的跳跃路径问题，通过观察和数学推导，给出了马跳跃n步后可能位置数量的递推公式，并提供了C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题面

题意:给你一个无限大的棋盘,一个象棋中的马,问你这个马,飞n步后,可能的位置有多少种?

题解:看到题,就想先打表试试,于是先写个暴力(枚举每个位置,是马就飞周围8个格子,注意不要在同个循环里把格子的标记涂成相同的数字)

然后打出来是9 41 109 205 325 473 649 853

对于这种增长不快的,我一般是先直接两项相减

得到 32 68 96 120 148 176 204

这时就看到,这个数列的增长越来越有趣? 后面都加的是28?

于是对于n>=5,我们有 f[n]=f[n-1]+120+(n-5)*28 = f[n-1]+28*n-20

这种递推式很明显的解法 f[n] = f[n-1]+28*n-20

f[n-1]= f[n-2]+28*(n-1)-20

f[5]=f[4]+28*(5)-20

左右相加,再抵消.

f[n]=28*(n+n-1+...+5)-20*(n-5+1)=f[4]+28*(n+5)*(n-4)/2-20*(n-4)=(14*(n+5)-20)*(n-4)+205 = (14*n+50)*(n-4)+205

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef unsigned long long ll;
 4 int main()
 5 {
 6     int caseCnt;
 7     scanf("%d",&caseCnt);
 8     for(int t=1;t<=caseCnt;++t) {
 9         ll n;
10         scanf("%llu",&n);
11         ll ans;
12         if(n==0) ans=1;
13         else if(n==1) ans=9;
14         else if(n==2) ans=41;
15         else if(n==3) ans=109;
16         else if(n==4) ans=205;
17         else {
18             ans=(14*n+50)*(n-4)+205;
19         }
20         printf("Case #%d: %llu\n",t,ans);
21     }
22     return 0;
23 }

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