[bzoj 3622]已经没有什么好害怕的了

本文探讨了一个基于广义容斥原理解决排列组合问题的方法,通过具体实例讲解了如何利用容斥原理和二项式定理来计算特定条件下序列匹配的方案数。文章详细介绍了算法实现过程,包括序列排序、状态转移方程的设计以及最终答案的计算。

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Description

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Solution

广义容斥原理

首先对于要求一个恰好为\(k\)的答案,我们可以转化为不少于\(k\)的答案,然后容斥

怎么求不少于\(k\)的答案呢,我们通常是钦定几个条件必然满足,剩下的就是排列组合乘进去

因为显然会算重,所以要容斥

对于此题:

我们先对两个序列排序

\(f[i][j]\)表示前第一个序列前\(i\)个数与第二个序列匹配,大于的匹配数不少于\(k\)的方案数
\[ f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]*[k-(i-1)] \]
这里的\(k\) 指的是在第二个序列中小于\(a[i]\)的数的个数

显然,仅仅这样是不够的,因为\(f[i][j]\)还要再乘上\((n-i)!\),表示剩下的数的匹配方案

那么剩下的直接二项式容斥就可以了


Code 

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a))
#define reg register
#define int ll
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
const int MN=2005,mod=1e9+9;
#define Mul(x,y) (1ll*x*y%mod)
#define Add(x,y) ((x+y+mod)%mod)
int n,k,a[MN],b[MN],c[MN],fac[MN],C[MN][MN],f[MN][MN],ans;
signed main()
{
    n=read();k=read();
    reg int i,j;
    for(i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
    for(i=1;i<=n;++i) b[i]=read();
    std::sort(a+1,a+n+1);std::sort(b+1,b+n+1);
    for(fac[0]=i=1;i<=n;++i)fac[i]=Mul(fac[i-1],i);
    C[0][0]=1;
    for(i=1;i<=n;++i)
    {
        C[i][0]=C[i][i]=1;
        for(j=1;j<i;++j) C[i][j]=Add(C[i-1][j-1],C[i-1][j]);
    }
    for(i=1,j=0;i<=n;++i)
    {
        while(b[j+1]<a[i]&&j+1<=n) ++j;
        c[i]=j;
    }
    f[0][0]=1;
    for(i=1;i<=n;++i)for(f[i][0]=j=1;j<=i;++j)
    {
        f[i][j]=Add(f[i][j],f[i-1][j]);
        f[i][j]=Add(f[i][j],Mul(f[i-1][j-1],max(0,c[i]-j+1)));
    }
    if((n+k)&1) return 0*puts("0");
    for(j=i=(n+k)/2;i<=n;++i) f[n][i]=Mul(f[n][i],fac[n-i]),ans=Add(ans,((i-j)&1?mod-1:1)*Mul(f[n][i],C[i][j]));
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
} 



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资源下载链接为: https://pan.quark.cn/s/22ca96b7bd39 在 IT 领域,文档格式转换是常见需求,尤其在处理多种文件类型时。本文将聚焦于利用 Java 技术栈,尤其是 Apache POI 和 iTextPDF 库,实现 doc、xls(涵盖 Excel 2003 及 Excel 2007+)以及 txt、图片等格式文件向 PDF 的转换,并实现在线浏览功能。 先从 Apache POI 说起,它是一个强大的 Java 库,专注于处理 Microsoft Office 格式文件,比如 doc 和 xls。Apache POI 提供了 HSSF 和 XSSF 两个 API,其中 HSSF 用于读写老版本的 BIFF8 格式(Excel 97-2003),XSSF 则针对新的 XML 格式(Excel 2007+)。这两个 API 均具备读取和写入工作表、单元格、公式、样式等功能。读取 Excel 文件时,可通过创建 HSSFWorkbook 或 XSSFWorkbook 对象来打开相应格式的文件,进而遍历工作簿中的每个 Sheet,获取行和列数据。写入 Excel 文件时,创建新的 Workbook 对象,添加 Sheet、Row 和 Cell,即可构建新 Excel 文件。 再看 iTextPDF,它是一个用于生成和修改 PDF 文档的 Java 库,拥有丰富的 API。创建 PDF 文档时,借助 Document 对象,可定义页面尺寸、边距等属性来定制 PDF 外观。添加内容方面,可使用 Paragraph、List、Table 等元素将文本、列表和表格加入 PDF,图片可通过 Image 类加载插入。iTextPDF 支持多种字体和样式,可设置文本颜色、大小、样式等。此外,iTextPDF 的 TextRenderer 类能将 HTML、
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