直线与圆

前言

当涉及直线与圆的相关问题时，考查最多的知识点是其中的\(Rt\triangle\)。注：其中的\(Rt\triangle\)指半弦长与半径和弦心距构成的直角三角形。

位置关系

• 相离 代数方法判断：\(\Delta<0\)；几何方法判断：\(d>r\)；

• 相切 代数方法判断：\(\Delta=0\)；几何方法判断：\(d=r\)；

• 相交 代数方法判断：\(\Delta>0\)；几何方法判断：\(d<r\)；

典例剖析

例1【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】直线\(l：kx-2y-3=0\)与圆\(C：(x-1)^2+(y+2)^2=4\)交于\(A\)，\(B\)两点，若\(\triangle ABC\)的周长为\(4+2\sqrt{3}\)，则实数\(k\)的值为【】

$A.\cfrac{3}{2}$ $B.-\cfrac{3}{2}$ $C.\pm\cfrac{3}{2}$ $D.\pm \cfrac{1}{2}$

分析：由于圆的半径为\(r=2\)，故由\(\triangle ABC\)的周长为\(4+2\sqrt{3}\)可得，弦长\(|AB|=2\sqrt{3}\)，则弦心距为\(1\)，

即点\(C\)到直线\(AB\)的距离为\(\cfrac{|k\times 1-2\times(-2)-3|}{\sqrt{k^2+4}}=1\)，解得\(k=\cfrac{3}{2}\)，故选\(A\)。

【试题自我研究】直线\(3x+4y+b=0\)与圆\(C：(x-1)^2+(y+2)^2=4\)交于\(A\)，\(B\)两点，试求\(\triangle ABC\)的面积最大时的\(b\)=_______________。

分析：由于\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}absinC=\cfrac{1}{2}R^2sinC\)，故当\(C=\cfrac{\pi}{2}\)时，面积最大；

由于\(R=2\)，且此时三角形为等腰直角三角形，故圆心\((1，-2)\)到直线\(3x+4y+b=0\)的距离为\(\sqrt{2}\)，

即\(\cfrac{|3\times 1+4\times(-2)+b|}{\sqrt{3^3+4^2}}=\sqrt{2}\)，解得\(b=\pm 5\sqrt{2}+5\)，

又由于直线和圆必须相交，即\(\cfrac{|3\times 1+4\times(-2)+b|}{\sqrt{3^3+4^2}}\leqslant 2\)，将求得的上述\(b\)值代入验证，都满足，

故\(b=5(\pm \sqrt{2}+1)\)

例2【2019届高三理科数学三轮模拟试题】设\(m>0\)，直线\(\sqrt{2}(x+y)+1+m=0\)与圆\(x^2+y^2=m\)相切，则\(m\)的值为【】

$A.1$ $B.2$ $C.3$ $D.4$

法1：几何法求解，\(d=\cfrac{|m+1|}{\sqrt{2+2}}=\sqrt{m}=r\)，解得\((m-1)^2=0\)，即\(m=1\)，故选\(A\).

法2：代数方法求解，\(\Delta=0\).

例3【2019届高三理科数学三轮模拟试题】已知双曲线\(\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1(a>0，b>0)\)的离心率为\(\sqrt{2}\)，则它的一条渐近线被圆\(x^2+y^2-6x=0\)截得的弦长为【】

$A.\cfrac{3}{2}$ $B.3$ $C.\cfrac{3\sqrt{2}}{2}$ $D.3\sqrt{2}$

分析：先有\(e=\sqrt{2}\)，可得\(c=\sqrt{2}a\)，解得\(b=a\)，故设其一条渐近线为\(y=\cfrac{b}{a}x=x\)，

又圆\(x^2+y^2-6x=0\)的圆心为\((3，0)\)，\(r=3\)，故圆心到渐近线的距离\(d=\cfrac{3}{\sqrt{1+1}}=\cfrac{3\sqrt{2}}{2}\)，

可得截得的弦长为\(2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{9-\cfrac{9}{2}}=3\sqrt{2}\)，故选\(D\).

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