三元积的性质

三元积形如$U\cdot V\times W$.

 

性质1：

$U\cdot(V\times W)=(U\times V)\cdot W$

这个式子的几何意义是清楚的，它们只是计算平行四边形体积的不同方法，因此是相等的.可以用行列式来证明它：

设X轴上的单位向量是$i$,Y轴上的单位向量是$j$,Z轴上的单位向量是$k$.

设$V=v_1i+v_2j+v_3k,W=w_1i+w_2j+w_3k,U=u_1i+u_2j+u_3k$.则
$$
V\times W=
\begin{vmatrix}
i&j&k\\
v_1&v_2&v_3\\
w_1&w_2&w_3
\end{vmatrix}
$$
$$
U\cdot(V\times W)=
\begin{vmatrix}
u_1&u_2&u_3\\
v_1&v_2&v_3\\
w_1&w_2&w_3
\end{vmatrix}
$$
把第二个行列式第一行和第三行互换，再把第二行和第三行互换，可得行列式的值不变，因此等式成立.

性质2：

计算向量三重积$U\times (V\times W)$.

向量三重积有一个公式，是
$$U\times (V\times W)=(U\cdot W)V-(U\cdot V)W$$

为了证明这个公式，我们仿照向量积满足分配律中使用的方法，将三个向量放在特殊的位置.使得$V$放在X轴上，$W$放在X-Y平面上，$U$放在随便哪个地方.设$V=ai,W=bi+cj,U=di+ej+fk$.则
$$U\times (V\times W)=(di+ej+fk)\times (ai\times (bi+cj))=(di+ej+fk)\times (ack)=-dacj+eaci=(U\cdot W)V-(U\cdot V)W$$

这已经是最一般的情况，验证完毕.

 

注:我认为，向量积中最重要的还不是向量积的行列式表达式，而是这样的一种方法：把每个向量写成分量的形式,配合向量积的分配律解决问题.这里之所以把向量放在特殊的位置是为了简化运算.

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