本文介绍了几种矩阵操作方法，包括变治法预排序、高斯消去法及LU分解，这些方法广泛应用于检验数组元素唯一性、查找数组中出现次数最多的元素、求解线性方程组及计算矩阵的逆等问题。
第6章 变治法
预排序：用于下列场景，检验数组中元素的唯一性，查找数组中出现次数最多的元素，等等
高斯消去法：将矩阵变成一个上三角阵，然后从最后一个方程开始，反向替换得到原方程的解。
为了减少舍入误差，每次选取第i列系数绝对值最大的行，并且与当前行交换。
LU分解：高斯消去法得到的上三角阵为U，在消去过程中行的乘数构成了下三角阵L（假设不存在行交换的情况下）。比如，在消去第i列的时候，把第i行乘以a加到第j行上，那么U[j][i] = -a。如果存在行交换的话，那么L也要做相应的交换。可以证明 A=LU
那么方程组Ax=b就等价于 LUx=b。
假设y=Ux，那么Ly=b，因为L是下三角阵，所以容易求出y。
Ux=y，所以也容易求出x。
优点：只需做一次LU分解，然后对所有的b都可以求解。
计算矩阵的逆：AX=I
假设逆矩阵的第j列为Xj, I的第j列为ej。
那么原方程便等价于求n的方程组 A * Xj = ej
可通过LU分解来求。
计算行列式：高斯消去法的每一步，要么改变行列式的符号，要么将行列式乘上一个常量，要么不变。最终得到一个上三角阵，三角阵的行列式等于对角元之积。所以容易推得原行列式的值。……
预排序：用于下列场景，检验数组中元素的唯一性，查找数组中出现次数最多的元素，等等
高斯消去法：将矩阵变成一个上三角阵，然后从最后一个方程开始，反向替换得到原方程的解。
为了减少舍入误差，每次选取第i列系数绝对值最大的行，并且与当前行交换。
LU分解：高斯消去法得到的上三角阵为U，在消去过程中行的乘数构成了下三角阵L（假设不存在行交换的情况下）。比如，在消去第i列的时候，把第i行乘以a加到第j行上，那么U[j][i] = -a。如果存在行交换的话，那么L也要做相应的交换。可以证明 A=LU
那么方程组Ax=b就等价于 LUx=b。
假设y=Ux，那么Ly=b，因为L是下三角阵，所以容易求出y。
Ux=y，所以也容易求出x。
优点：只需做一次LU分解，然后对所有的b都可以求解。
计算矩阵的逆：AX=I
假设逆矩阵的第j列为Xj, I的第j列为ej。
那么原方程便等价于求n的方程组 A * Xj = ej
可通过LU分解来求。
计算行列式：高斯消去法的每一步，要么改变行列式的符号，要么将行列式乘上一个常量，要么不变。最终得到一个上三角阵，三角阵的行列式等于对角元之积。所以容易推得原行列式的值。……
扫一扫
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
