斑点检测(LoG,DoG)(下)

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#python #人工智能

本文深入探讨了基于二阶导数过零点的斑点检测原理，解析了从边缘检测到斑点检测的变化，并介绍了如何通过尺度归一化选择合适的检测尺度。此外，还对比了LoG与DoG算子的区别及联系。

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斑点检测(LoG,DoG)(下)

LoG， DoG， 尺度归一化

上篇文章斑点检测(LoG,DoG)(上)介绍了基于二阶导数过零点的边缘检测方法，现在我们要探讨的是斑点检测。在边缘检测中，寻找的是二阶导数的零点，可是在斑点检测中寻找的是极值点，这是为什么呢？而且在使用二阶导数寻找斑点时不仅在图像上寻找极值点，还要求在尺度空间上也是极值点，又是为什么呢？还有为什么DoG是LoG的简化版本呢？？

这篇文章主要内容就是回答这三个问题。

From edges to blobs

对于阶跃信号，其二阶导数在对应跃变得位置会产生一个波，该波的过零点正对应着待检测的边缘位置。

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1474424864226.jpg

而所谓的斑点区域就是两条边形成的中间区域，如下图中，对于蓝色的目标区域，红色的椭圆就是在检测边缘，黑色的椭圆就是在检测斑点区域。

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1474425468660.jpg

那么边缘检测到斑点检测的过程对二阶导数有什么影响呢？

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1474425595728.jpg

这个示意图中上一行从左到右表示的是原始矩形脉冲信号，脉冲信号的周期越来越短，而下一行则表示对应周期在相同尺度下的LoG结果。可以发现总的LoG曲线其实是两条边界上产生的LoG函数的叠加，当两条边界足够小时，在该尺度脉冲下就被作为了blob，这时候LoG曲线的极值就对应着blob的中心。

所以边缘检测对应的是LoG的过零点，而斑点检测对应的是LoG的极值点。

这里我们可以发现判断是不是blob时，尺度非常重要，只有尺度大于一定值得时候blob才可以通过LoG的极值判定。

那么尺度该如何选择呢？

尺度的选择

先来看看同一个阶跃信号在不同尺度下的响应

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1474426170925.jpg

可以发现随着尺度的不断增大，LoG曲线由双波谷逐渐融合成单波谷，但是响应的幅值越来越弱。这是因为，随着尺度的增大，LoG算子的最大幅度逐渐减小，导致响应也随着尺度的增大而减小。

这种情况我们没法知道选定的尺度是否合适，进而不知道这个尺度下找到的极值点是不是对应着blob的中心点，万一是边缘产生波的极值点怎么办！所以我们这时候应该对进行LoG算在进行尺度的归一化。

下图给出了阶跃信号的一阶Gaussian滤波曲线

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1474426585595.jpg

可以发现对于稳定信号，响应的最大幅值是和1027162-20160921114129871-16663004.png成正比的，那么为了消除尺度的影响，可以对一阶高斯滤波算子乘上个1027162-20160921114130231-189871151.png,那么对于不同的尺度，其响应的强度就是相同的了。这里可以这么理解，在0点处积分结果为

1027162-20160921114130809-1658521344.png

是1027162-20160921114131387-156774251.png的函数表示与尺度有关，乘上一个1027162-20160921114131902-433226037.png之后就与尺度无关了，称为尺度的归一化。

而LoG算子是Gaussian 滤波的二阶导数，所以应该乘上个1027162-20160921114132356-1648096182.png做尺度归一化。

再来看看矩形脉冲在不同尺度经过尺度归一化后的响应

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1474427171097.jpg

可以发现当尺度等于脉冲宽度的一半的时候，不仅极值对应着blob的中心位置，而且这时候的响应强度比其他尺度响应强度都强。

那么我们在检测blob时就可以使用不同的尺度计算HoG响应，选择产生最强响应的尺度，在该尺度上对应的极值就是blob的中心位置了。

对于不同尺寸的blob，理想的尺度应该是多少呢？
理论表明，对于一个圆形blob，当二维LoG算子的零点值曲线和目标圆形边缘重合时取得最强响应。

下图是LoG剖面示意

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1474428032289.jpg

所以由LoG算子的目标式1027162-20160921114134434-457373451.png可得最优尺寸为1027162-20160921114134824-1130200409.png.

在使用LoG算子进行Blob检测时，首先在不同尺寸上对图像进行LoG，然后检测在尺度空间和图像空间都是极值的点，就是blob区域的中心点。

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1474428242180.jpg

LoG to DoG

为什么DoG可以近似LoG使用呢？
先来看看归一化之后的LoG算子(该过程将高斯函数带入化简可得)

1027162-20160921114135684-936337656.png

而高斯差分算子

1027162-20160921114136371-335842091.png

所以

1027162-20160921114136840-539403997.png

因为k-1是常量不影响函数极值点，所以检测归一化的LoG在尺度空间的极值，即近似于检测DoG空间的极值。

DoG进行Blob检测流程
首先使用不同尺度的高斯算子对图像进行平滑
其次计算相邻尺度下平滑图像的差分图像(DoG空间)
最后在DoG空间寻找极值点

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则可以发现随着尺度的不断增大，LoG曲线由双波谷逐渐融合成单波谷并趋于水平，导致响应也随着尺度的增大而减小，从而无法确定选定的尺度是否合适，不 知道该尺度下找到的极值点是不是对应着斑点的中心点，为了解决这一个问题，从而提出了LoG归一化的操作。斑点检测：计算不同的尺度计算LoG响应，选择产生最强响应的尺度，在该尺度上对应的极值点就是斑点的中心位置。可知当LoG的尺度与斑点的宽度匹配时，LoG的幅值在斑点的中心取得最大值（信号正负极与高斯函数相同时）用不同尺度的LoG和信号卷积，寻找幅值的最大值。
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