数据结构---树（待补充）

基本概念

1. 相关定义

• 树是由n（n>0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。
• 每个节点有零个或多个子节点。
• 没有父节点的节点称为根节点。
• 每一个非根节点有且只有一个父节点。
• 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树。
• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度。
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度。
• 叶节点或终端节点：度为零的节点。
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推。
• 深度：对于任意节点n,n的深度为从根到n的唯一路径长，根的深度为0。
• 高度：对于任意节点n,n的高度为从n到一片树叶的最长路径长，所有树叶的高度为0。
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林。
  

2. 树的分类

1. 无序树
   树中任意节点的子节点之间没有顺序关系。它就是一个无回路的连通图，没有确定根，在自由树中选定一顶点做根，则成为一棵通常的树。
2. 有序树
   树中任意节点的子节点之间有顺序关系。常见的有序树有：二叉树、完全二叉树、满二叉树、平衡二叉树（AVL树）、二叉查找树、霍夫曼树、B树、字典树。

3. 相关规律

二叉树

• 每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。
• 在二叉树的第 i 层上至多有$2^{i-1}$个结点（i≥1）。
• 深度为k的二叉树至多有$2^k-1$个结点（k≥1）。
• 对任何一棵二叉树，如果其叶子节点数为$n_0$，度为2的结点数为$n_2$，则$n_0=n_2 + 1$。（要会推导）

完全二叉树&&满二叉树

• 完全二叉树：对于一颗二叉树，假设其深度为d（d>1）。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列。
• 满二叉树：每一个层的结点数都达到最大值。
• 满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树。
  
• 具有n个结点的完全二叉树的深度为$log_2n + 1$

平衡二叉树

• 它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。
• 最小二叉平衡树的节点的公式：$F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1$

二叉查找树

• 二叉查找树又叫二叉排序树或二叉搜索树。是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：
  　　 1. 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

　　 2. 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；
　　 3. 左、右子树也分别为二叉排序树；
　　 4. 没有键值相等的节点。
　　

• 二叉查找树的性质：对二叉查找树进行中序遍历，即可得到有序的数列。
  　　

　　

霍夫曼树

• 带权路径最短的二叉树。是一个一般化的二叉查找树，可以拥有多于2个子节点。

B树

• 不是二叉树，是一个一般化的二叉查找树，可以拥有多于2个子节点。

  ![image](https://yqfile.alicdn.com/da7677793d755574cf60be202909743405eb894b.png)
  

字典树

• Tire树称为字典树，又称单词查找树，Trie树用于统计，排序和保存大量的字符串（但不仅限于字符串），所以经常被搜索引擎系统用于文本词频统计。它的优点是：利用字符串的公共前缀来减少查询时间，最大限度地减少无谓的字符串比较，查询效率比哈希树高。　
• Tire树的三个基本性质：
  　　 1. 根节点不包含字符，除根节点外每一个节点都只包含一个字符；

　　 2. 从根节点到某一节点，路径上经过的字符连接起来，为该节点对应的字符串；
　　 3. 每个节点的所有子节点包含的字符都不相同。

相关实现(C++)