linear algebra 2

1. whether the linear map is surjective or not depends on the target space
2. 有限维向量空间的线性映射的零空间的维数加上值域的维数等于定义域的维数。dimV=dimnullT+dimrangeT
3. close under addition & close under scalar multiplication
4. 在有限维向量空间中，每个线性无关向量组都可以扩充成一个基
5. 对于有限维向量空间的每一个子空间都可以找到另一个子空间，使得整个空间是这两个子空间的直和。
6. 如果V和W都是有限维向量空间，并且dimV>dimW ,那么V到W的线性映射一定不是injective
7. 当变量多于方程时，齐次线性方程组必有非零解。
8. 因为线性映射又起在基上的值确定，所以线性映射T由标量a_j，k                  完全确定，由这些a所构成的矩阵成为T关于基（v_1，v_2……）和基（w1，……）的矩阵，记为Μ(T,(v1,……),(W1,……))
   
9. Mat（m,n,F）是以矩阵为元素的向量空间
10. 一个从V到W的线性映射，确定了V和W的基向量，唯一的两个基向量之间的关系由一个矩阵来表达

• 我们可以从复合映射引出矩阵乘法
• 只有一个元素为1，其余元素全为零的m*n矩阵的全体，组成了Mat（m,n,F）的基。这样的矩阵一共有mn个，因此Mat（m,n,F）的维数等于mn。
• 映射的维数等于定义域和值域的维数之积

 

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