[CSAcademy]Cycle Tree

最新推荐文章于 2020-01-23 12:28:01 发布

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CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/skylee03/p/9591849.html

本文介绍了一种解决环树最大独立集问题的有效算法。通过不断移除度数为2的节点并更新最大独立集状态，最终求得整棵树的最大独立集大小。采用动态规划思想，确保了算法的时间复杂度为O(n+m)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

[CSAcademy]Cycle Tree

题目大意：

定义环树是一张无向连通的简单图,它的生成方式如下:

\(2\)个点\(1\)条边的图是环树；
对任意一个环树，加入\(k\)个点\(a_{1\sim k}\)，加入方式为从原图中选择一条边\((u,v)\)，连接\((u,a_1),(a_1,a_2)\ldots(a_{k-1},a_k),(a_k,v)\)，得到的图也是环树。

给定一个\(n(n\le5\times10^4)\)个点，\(m(m\le10^5)\)条边的环树，求最大独立集大小。

思路：

每次选取一个度数为\(2\)的点，将这条边删掉，将相邻的两点间连上虚点。不断进行这样的操作，最后只会剩下\(2\)个点。

\(f[0/1][0/1][i][j]\)表示对于边\((i,j)\)，是否选取\(i/j\)的最大独立集，按照删点的顺序进行DP即可。

每个点最多被删一次，因此时间复杂度\(\mathcal O(n+m)\)。

源代码：

#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<climits>
inline int getint() {
    register char ch;
    while(!isdigit(ch=getchar()));
    register int x=ch^'0';
    while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
    return x;
}
const int N=5e4+1;
bool inq[N];
std::queue<int> q;
std::set<int> e[N],set[N];
std::map<int,int> f[2][2][N];
inline void add_edge(const int &u,const int &v) {
    e[u].emplace(v);
    e[v].emplace(u);
}
inline void add(int &x,const int &y) {
    x+=y;
}
inline void up(int &x,const int &y) {
    x=std::max(x,y);
}
int main() {
    const int n=getint(),m=getint();
    for(register int i=0;i<m;i++) {
        const int u=getint(),v=getint();
        add_edge(u,v);
        f[0][0][u][v]=f[0][0][v][u]=0;
        f[0][1][u][v]=f[1][0][v][u]=1;
        f[1][0][u][v]=f[0][1][v][u]=1;
        f[1][1][u][v]=f[1][1][v][u]=INT_MIN;
        set[u].insert(v);
        set[v].insert(u);
    }
    int ans=1;
    for(register int i=1;i<=n;i++) {
        if(e[i].size()==2) {
            q.push(i);
            inq[i]=true;
        }
    }
    while(!q.empty()) {
        const int x=q.front();
        q.pop();
        if(e[x].size()!=2) continue;
        const int u=*e[x].begin(),v=*e[x].rbegin();
        add(f[0][0][u][v],std::max(f[0][0][x][u]+f[0][0][x][v],f[1][0][x][u]+f[1][0][x][v]-1));
        add(f[0][1][u][v],std::max(f[0][0][x][u]+f[0][1][x][v],f[1][0][x][u]+f[1][1][x][v]-1)-!!f[0][1][u][v]);
        add(f[1][0][u][v],std::max(f[0][1][x][u]+f[0][0][x][v],f[1][1][x][u]+f[1][0][x][v]-1)-!!f[1][0][u][v]);
        if(!set[u].count(v)) add(f[1][1][u][v],std::max(f[0][1][x][u]+f[0][1][x][v],f[1][1][x][u]+f[1][1][x][v]-1)-2*!!f[1][1][u][v]);
        up(ans,f[0][0][v][u]=f[0][0][u][v]);
        up(ans,f[1][0][v][u]=f[0][1][u][v]);
        up(ans,f[0][1][v][u]=f[1][0][u][v]);
        up(ans,f[1][1][v][u]=f[1][1][u][v]);
        e[x].clear();
        e[u].erase(x);
        e[v].erase(x);
        e[u].insert(v);
        e[v].insert(u);
        if(e[u].size()==2&&!inq[u]) {
            q.push(u);
            inq[u]=true;
        }
        if(e[v].size()==2&&!inq[v]) {
            q.push(v);
            inq[v]=true;
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/skylee03/p/9591849.html