直线和曲线相切，曲线和曲线相切

一、相切模型

模型函数\(y=kx\)与函数\(y=lnx\)相切于点\(Q\)，求点\(Q\)的坐标。\((e，1)\)

分析：设函数\(y=kx\)与函数\(y=lnx\)切点为\(Q(x_0,y_0)\)，则有

\(\begin{cases} y_0=kx_0 \\ y_0=lnx_0 \\ k=f'(x_0)=\cfrac{1}{x_0}\end{cases}\)；

从而解得\(x_0=e,y_0=1,k=\cfrac{1}{e}\)，故切点\(Q\)的坐标为\((e，1)\)

二、直线和曲线相切

例1若方程\(\sqrt{3-\cfrac{3}{4}x^2}-m=x\)有实根，则实数\(m\)的取值范围是________.

【分析】将原本数的问题，转化为形的问题，即两个函数的图像有交点的问题，从形上来处理解决。

【解答】由题目可知，方程\(\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}=x+m\)有实根，

即函数\(y=f(x)=\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}\)和函数\(y=x+m\)的图像有交点，

其中函数\(y=\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}\)的图像是椭圆\(\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{3}=1\)的上半部分，

函数\(y=x+m\)的图像是动态的直线，

在同一个坐标系中做出两个函数的图像，由图像可知，

由图可知，直线和椭圆相交的一个位置是过点\((2，0)\)，代入求得\(m=-2\)；

另一个相交的临界位置是直线和函数\(y=f(x)=\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}\)在第二象限的部分相切，

设切点坐标\((x_0，y_0)\)，

则有\(f'(x)=[(3-\frac{3}{4}x^2)^{\frac{1}{2}}]'=\frac{1}{2}\cdot (3-\frac{3}{4}x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot (3-\frac{3}{4}x^2)'\)

\(=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}}\cdot (-\frac{3}{4}\cdot (2x))\)

\(= \frac{1}{\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}}\cdot (-\frac{3x}{4})\)

则\(f'(x_0)=\frac{-\frac{3x}{4}}{\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}}=1(x_0<0)\)

即\(-\frac{3x}{4}=\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}\)，两边平方整理得到，

\(x_0^2=\frac{16}{7}\)，即\(x_0=-\frac{4}{\sqrt{7}}\)，

代入函数\(y=f(x)=\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}\)，得到\(y_0=\frac{3}{\sqrt{7}}\)

即切点为\((-\frac{4}{\sqrt{7}}，\frac{3}{\sqrt{7}})\)

将切点代入直线，得到\(m=\sqrt{7}\)，

结合图像可知\(m\)的取值范围是\([\sqrt{7}，2]\)。

【点评】：①本题目的难点一是将数的问题转