骚操作之鸽巢原理

最新推荐文章于 2022-09-04 23:35:19 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/BobHuang/p/7253124.html

本文介绍了抽屉原理及其加强形式，并列举了一些有趣的实例应用，如证明在特定条件下必有两人积分相同、找到两个序列中和相同的子序列等问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。它是组合数学中一个重要的原理。

在acm中也是会遇到的，比如两个人对打的得分问题

110个人参加一个国际象棋单循环比赛，每两人都进行一局比赛，胜积1分，败积-1分，平积0分。结果又32个平局。证明：必有两个人积分相同。

2给两个序列A,B |A|=N且元素为1-M，|B|=M且元素为1-N。各找一段连续子序列使和相同的。

hint:利用鸽巢原理

知乎大佬如是说，搬运

作者：HopLee
链接：https://www.zhihu.com/question/46645409/answer/112834387
来源：知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

将

n+1

个物品放入

个盒子中，则一定存在一个盒子里面至少有两个物品。
没错这就简单形式的鸽巢原理，简直像是一句废话。
加强形式的鸽巢原理就不太显然了：
将 $q_{1} +q_{2} +...+q_{n} -n+1$ 个物品放入

个盒子中，则或者第1个盒子中至少有 $q_{1}$ 个物品，或者第二个盒子至少有 $q_{2}$ 个物品......或者第

个盒子至少有 $q_{n}$ 个物品（ $q_{1}= q_{2}=...=q_{n}=2$ 时就是鸽巢原理的简单形式）。
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光看鸽巢原理并没有觉得这个定理有趣在哪里，其实它有趣的是它的一些推论，下面我列举几个：

从 $\left\{ 1,2,...,kn \right\}$ 中选出个数，总存在两个数他们最多相差。
在边长为1的正方形中放入5个点，则其中至少有两个点距离不超过 $\frac{\sqrt{2} }{2}$ 。
任取个整数，一定存在两个数它们的差被整除。
一个孩子每天至少学习一个小时，共看7周，每周学习不超过11小时，则一定存在连续的若干天，在这期间共学习21个小时（假定每天学习时间为整数小时）。
从1到200的自然数中取出101个数，一定存在两个数，其中一个是另一个的整倍数。
之前看到其他朋友提到了Ramsey理论，其实那个六人聚会问题（六个人聚会一定有三个人两两相互认识或者相互不认识）也是通过鸽巢原理解决的。

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看上去像一句废话的鸽巢原理其实会引申出很多有趣的例子，如果想了解鸽巢原理更多的内容可以看看《Combinatorics》（Brualdi，R.A. 第五版）

这几个问题想想做做智力体操还是很有趣的

转载于:https://www.cnblogs.com/BobHuang/p/7253124.html

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