[JZOJ4786]小a的强迫症

珠子排列组合算法解析

最新推荐文章于 2019-05-25 17:03:32 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/skylee03/p/9684642.html

本文解析了一道关于珠子排列的问题，通过动态规划的方法，计算了特定条件下珠子排列的方案数量。介绍了核心变量(f_i)的含义及其递推公式，详细展示了时间复杂度为(mathcalO(n+sumnum[i]))的高效算法实现。

[JZOJ4786]小a的强迫症

题目大意：

有\(n(n\le10^5)\)种颜色的珠子，第\(i\)种颜色有\(num[i]\)个。你要把这些珠子排成一排，使得第\(i\)种颜色的最后一个珠子一定在第\(i+1\)种珠子的最后一个珠子之前，求方案数。

思路：

\(f_i\)表示排完前\(i\)种颜色的方案数，显然前\(num[i]-1\)个可以瞎放，剩下一个一定要放最后，所以\(f_i=f_{i-1}\times\frac{(\sum_{j\le i}num[j]-1)!}{(\sum_{k<i}num[k])!(num[i]-1)!}\)。

时间复杂度\(\mathcal O(n+\sum num[i])\)。

源代码：

#include<cstdio>
#include<cctype>
inline int getint() {
    register char ch;
    while(!isdigit(ch=getchar()));
    register int x=ch^'0';
    while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
    return x;
}
typedef long long int64;
const int N=1e5+1,S=5e5+1,mod=998244353;
int num[N],fac[S],ifac[S];
void exgcd(const int &a,const int &b,int &x,int &y) {
    if(!b) {
        x=1,y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
}
inline int inv(const int &x) {
    int ret,tmp;
    exgcd(x,mod,ret,tmp);
    return (ret%mod+mod)%mod;
}
inline int calc(const int &s,const int &k) {
    return (int64)fac[s+k-1]*ifac[s]%mod*ifac[k-1]%mod;
}
int main() {
    const int n=getint();
    int sum=0;
    for(register int i=1;i<=n;i++) {
        num[i]=getint();
        sum+=num[i];
    }
    for(register int i=fac[0]=1;i<=sum;i++) {
        fac[i]=(int64)fac[i-1]*i%mod;
    }
    ifac[sum]=inv(fac[sum]);
    for(register int i=sum;i>=1;i--) {
        ifac[i-1]=(int64)ifac[i]*i%mod;
    }
    sum=0;
    int ans=1;
    for(register int i=1;i<=n;i++) {
        ans=(int64)ans*calc(sum,num[i])%mod;
        sum+=num[i];
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/skylee03/p/9684642.html