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北大考研详解与指导

2009年考研真题

考试科目：计算机数学基础 考试时间：2009.1.12

招生专业：计算机科学与技术 研究方向：

说明：答题一律写在答题纸上(含填空题、选择题等客观题)，写在此页上无效。

高等数学部分(共60分)

x t2 f (xh)f (xh)

1 (10分)f (x) e dt0 ，求极限lim 。

h0 h

x 0

(t f (u)du)dt

  0 t

2 (10分)f(x)在x=0处可导，且f(0)=0, f (0)=4,求极限lim 3 。

x0 x sinx

x f (2x)

3 (10分)lim 2，求lim 。

x0 f (3x) x0 x

f (x) [a,b] (a,b) (a,b) 

4 (10分) 在 内连续，在 内可导，ba0，证明： 内存在一点 ，使得

f () 2 2

f (b)f (a) (b a )。

2

f (x) [a,b] (a,b)  f (x)  xa

5 (10分) 在 内连续且单调递增，证明： 内存在一点 ，使得y= 与x= ， 及

轴所围的面积 是y= 与x= ， 所围的面积 的3倍。

x S1 f (x)  xb S2

  

6 (10分)b 是收敛的正项级数，(a a )收敛，试讨论a b 的收敛性，并说明理由。

n n n1 n n

n1 n1 n1

集合论和图论部分(共60分)

1 (15分)请叙述集合运算吸收律并证明(证明其中一条即可)。

2 (15分)A是集合，A上划分之间的加细关系是什么？请证明A上划分之间的加细关系是偏序关系。

3 (15分)请证明强连通的竞赛图一定是哈密顿图。

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4 (15分)请叙述并证明五色定理。

代数结构部分(共30分)

1 (20分)请回答下列各题。

(1)a，b是实数，请指出如下四个二元运算中哪个既是可交换的又是可结合的。

A、a*ba2b；B、a*babab；C、a*ba；D、a*b|ab|。

(2) 是模 加代数系统，给出 到 的全部同态映射。