数学美 之 判断线段相交的最简方法

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解析几何的巅峰
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引子

如何判断两条直线是否相交？

这很容易。平面直线，无非就是两种关系：相交 或 平行。因此，只需判断它们是否平行即可。而直线平行，等价于它们的斜率相等，只需分别计算出它们的斜率，即可做出判断。

但倘若我把“直线”换成“线段”呢——如何判断两条线段是否相交？

这就有些难度了。和 直线 不同，线段 是有固定长度的，即使它们所属的两条直线相交，这两条线段也不一定相交。

也许你会说：分情况讨论不就行了嘛：

• 先计算两条线段的斜率，判断是否平行。若平行，则一定不相交。

• 若不平行，求出两条线段的直线方程，联立之，解出交点坐标。

• 运用定比分点公式，判断交点是否在两条线段上。

的确，从理论上这是一个可行的办法，这也是人们手动计算时普遍采用的方法。

然而，这个方法并不怎么适用于计算机。原因如下：

• 计算中出现了除法（斜率计算、定比分点），因此每次计算前都要判断除数是否为 0（或接近 0）。这很麻烦，严重干扰逻辑的表达。

• 浮点精度丢失带来的误差。人类计算时可以采用分数，但计算机不行。计算机在储存浮点数时会有精度丢失的现象。一旦算法的计算量大起来，误差会被急剧放大，影响结果准确性。