Luogu P4716 【模板】最小树形图-优快云博客

本文介绍了一种树形图最小生成树算法，通过选择最短父边来构建最小生成树，处理环路并替换边，确保最终生成的树为最小权重。算法通过不断优化边的选择，直到没有环路存在。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

不知道有什么用的一个东西。本来不打算再大量扩知识点了但还是学一下好了，反正也不难。

原理：树上父亲唯一，每次选最短的父边。

此时会有两类情况：

就这样正常连下去，这样我们就得到了一个尽可能小的树形图。
成环。这种情况下我们需要拆掉环里的一条边换成其他的边。

我们记录一下到达每个点的最短父边权值是多少。对于成环的情况，可以先把环里面所有边的权值选上，把环里面的所有点看成一个。然后等到有其它外来的边连进来的时候，再选一个最小的外来边，去掉环里面原先所暂时使用的边，换成外来的那个，就这样一直求解直到不再有环。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 100 + 5;
const int M = 10000 + 5;
const ll INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m, r;

struct edge {int u, v, w;} e[M];

int fa[N], id[N], top[N], minw[N];

ll get_ans (int n, int m) {
    ll ans = 0;
    while (true) {
        int cnt = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            id[i] = top[i] = 0; minw[i] = INF;
        }
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            if (e[i].u != e[i].v && e[i].w < minw[e[i].v]) {
                fa[e[i].v] = e[i].u;
                minw[e[i].v] = e[i].w;
            }
        }
        minw[r] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            if (minw[i] == INF) return -1;
            ans += minw[i];
            int u = i;
            while (u != r && top[u] != i && !id[u]) {
                top[u] = i;
                u = fa[u];
            }
            if (u != r && !id[u]) {
                id[u] = ++cnt;
                for (int v = fa[u]; v != u; v = fa[v]) id[v] = cnt;
            }
        }
        if (cnt == 0) return ans;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            if (!id[i]) id[i] = ++cnt;
        }
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            int prew = minw[e[i].v];
            e[i].u = id[e[i].u];
            e[i].v = id[e[i].v];
            if (e[i].u != e[i].v) {
                e[i].w -= prew;
            }
        }
        n = cnt; r = id[r];
    }
}

int main () {
    cin >> n >> m >> r;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        static int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w; 
        e[i] = (edge) {u, v, w};
    }
    cout << get_ans (n, m) << endl;
}

以及非常感谢 @旋转卡壳的代码。仅仅是读注释就可以快速理解整个算法的流程。（虽然代码不加空格\(www\)）

转载于:https://www.cnblogs.com/maomao9173/p/10780452.html