时间复杂度和空间复杂度

算法效率的质量方法

事后统计方法

主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法的效率高低

缺陷：必须依据事先编制好的测试程序，需要花费大量的时间和精力

事前估算方法

在计算机程序编写前，依据统计方法进行估算

总结：高级语言编写的程序，运行时消耗的时间取决于一下因素

算法采用的策略，方案

编译产生代码的质量

问题的输入规模

机器执行指令的速度

分析一个算法的运行时间时，重要的是把基本操作的数量和输入模式关联起来

函数的渐进增长

给定两个函数f（n）和g（n），如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N,f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐进快于g(n)

测试：算法A是4n+8，算法B是2n^2+1

次数
算法A1(4n+8)
算法A2(n)
算法B1(2n^2+1)
算法B2(n^2)
n=1
12
1
3
1
n=2
16
2
9
4
n=3
20
3
19
9
n=10
48
10
201
100
n=100
408
100
20001
10000
n=100
4008
1000
2000001
1000000

去掉实数变换不大

判断一个算法的效率时，函数中的常数和其它次要项常常可以忽略，更应该关注主项的阶数。

时间复杂度

算法时间复杂度的定义：在进行算法分析时，语句总的执行次数T（n）是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)=O(f(n))。他表示随问题规模n的增长，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数（关键需要知道执行次数==时间）

大O记法：用大写O（）来体现算法时间复杂度的记法

一般情况下，随着输入规模n的增大，T（n）增长最慢的算法，也是最优的算法

三个求和算法的时间复杂度分别为O（1），O(n)，O(n^2)

大O阶推导方法

-用常数1取代运行时间中的所有加法常数

-在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶

-最高项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数

-得到最后的结果就是大O阶

int sum = 0,n = 100;

print("AAAA");

print("AAAA");

print("AAAA");

print("AAAA");

print("AAAA");

print("AAAA");

print("AAAA");

sum = (1+n)*/2

这段代码的大O是O(1)

线性阶

线性阶就是随着问题规模n的扩大，对应计算次数呈直线增长

int i,n=100,sum=0;

for(i=0;i<n;i++)

{

    sum = sum+i;

}

循环的时间复杂度为O(n)，因为循环体中的代码需要执行n次

平方阶

int i,j,n=100;

for(i=0;i<n;i++)

{

    for(j=0;j<n;j++)

    {

     print("AAAA")

     }

}//嵌套循环

外层+1内存执行100，程序要从两个循环出来，需要执行100*100次，也就是n^2,时间复杂度就是O(n^2)

int i,j,k,n=100;

for(i=0;i<n;i++)

{

    for(j=0;j<n;j++)

    {

    for(k=0;k<n;k++)

        {

         print("AAAA")

         }

     }

}//嵌套循环

时间复杂度就是O(n^3)

int i,j,n=100;

for(i=0;i<n;i++)

{

    for(j=i;j<n;j++)

    {

     print("AAAA")

     }

}//嵌套循环

这个循环，当i=0时，内循环执行n次，当n=1时，内循环则执行n-1次......总的执行次数应该是n(n-1)/2

推导大O：保留最高项，去掉n/2。去掉与最高项相乘的常数，最终的O(n^2)

持续更新......

对数阶

int i=1,n=100;

while(i<n)

{

   i= i*2;

}

每次i*2之后，就举例n更近一步，假设X个2相乘后大于或等于n，则退出循环

由2^x = n 得到 x = log(2)n ，时间复杂度为O(logn)

函数调用的时间复杂度

int i,j;

for(i=0;i<n;i++)

{

     function(i);

}

void function(int count)

{

    print(count);

}

函数的时间复杂度是O(1)，所以整个的时间复杂度O(n)

n++;

function(n);//上一个例子中的

for(i=0;i<n;i++)

{

   function(i);

}

for(i=0;i<n;i++)

{

   for(j=i;j<n;j++)

   {

    print("%d",j);

    }

}

时间复杂度：O(n^2)

常见时间复杂度

例子
时间复杂度
术语
5201314
O(1)
常数阶
3n+4
O(n)
线性阶
3n^2+4n+5
O(n^2)
平方阶
3log(2)n+4
O(logn)
对数阶
2n+3nlog(2)n+14
O(nlogn)
nlogn阶
n^3+2n^2+4n+6
O(n^3)
立方阶
2^n
O(2^n)
指数阶

时间复杂度所耗费的时间从小到大一次排序：

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)

平均运行时间是期望的运行时间

最坏运行时间时一种保证。通常无特别指定，运行时间都指的最坏运行时间