BZOJ3925: [Zjoi2015]地震后的幻想乡

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原文链接：http://www.cnblogs.com/cjoieryl/p/10225854.html

本文介绍了一种计算在给定边集的无向图中，每条边成为最小生成树最大边概率的方法。利用组合数学和动态规划，文章详细阐述了如何通过递推公式计算连通和不连通方案数，最终求得每条边的概率。

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根据期望的线性性，算出第 \(i\) 小的边作为最小生成树的最大边的概率，设为 \(P_i\)
那么根据题目的信息，答案就是 \(\sum \frac{i}{m+1}P_i\)
考虑计算 \(P_i\)，相当于在加入 \(i\) 这条边的时候，前 \(i-1\) 条不连通，而 \(i\) 条恰好连通
设 \(g_{i,s}\) 表示点集 \(s\) 中选择 \(i\) 条边连通的方案数
设 \(cnt_s\) 表示点集 \(s\) 中的边数，\(all\) 表示全集
那么
\[P_i=\frac{g_{i,all}}{\binom{cnt_{all}}{i}}-\frac{g_{i-1,all}}{\binom{cnt_{all}}{i-1}}\]
直接求 \(g\) 比较困难，考虑计算不连通的方案数，设为 \(f\)
那么有
\[f_{i,s}+g_{i,s}=\binom{cnt_s}{i}\]
\(f\) 容易算，枚举钦定一个点 \(p\) 的连通块
那么
\[f_{i,s}=\sum_{t\subset s,p\in t}\sum_{j=0}^{i}g_{j,t}\binom{cnt_{s-t}}{i-j}\]

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

int n, m, cnt[1 << 10], mp[10][10];
double c[50][50], f[50][1 << 10], g[50][1 << 10], ans;

int main() {
    int i, j, k, u, v, st, p;
    scanf("%d%d", &n, &m), st = 1 << n;
    for (i = 1; i <= m; ++i) scanf("%d%d", &u, &v), ++mp[u - 1][v - 1];
    for (i = 0; i < st; ++i)
        for (j = 0; j < n; ++j)
            if (i >> j & 1)
                for (k = 0; k < n; ++k)
                    if (i >> k & 1) cnt[i] += mp[j][k];
    c[0][0] = 1;
    for (i = 1; i <= m; ++i)
        for (c[i][0] = j = 1; j <= i; ++j)
            c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j];
    for (i = 0; i < n; ++i) g[0][1 << i] = 1;
    for (i = 1; i <= m; ++i)
        for (j = 1; j < st; ++j) {
            p = j & -j, u = j ^ p;
            for (v = (u - 1) & u; ; v = (v - 1) & u) {
                for (k = 0; k <= i; ++k)
                    f[i][j] += g[k][v | p] * c[cnt[u ^ v]][i - k];
                if (!v) break;
            }
            g[i][j] = c[cnt[j]][i] - f[i][j];
        }
    for (i = 0; i <= m; ++i) g[i][st - 1] /= c[m][i];
    for (i = 1; i <= m; ++i) ans += (g[i][st - 1] - g[i - 1][st - 1]) * i;
    printf("%.6lf\n", ans / (m + 1));
    return 0;
}

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