【文文殿下】组合数学学习笔记

组合数学

容斥原理

\(tot=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}*p(i)\)

排列

全排列公式：\(f(n)=n!\)

有重复元素的排列公式：\(\frac{(\sum p(i))!}{\prod_{i=1}^{n}p(i)!}\)

组合数

组合数通项公式：\(C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}\)

组合数递推公式：\(C_n^k=C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1}\)

组合数递推公式②：\(C_n^{k+1}=C_{n}^{k}*\frac{n-k}{k+1}\)

组合数恒等式：

\(\sum_{i=0}^n C_n^i = 2^n\)

\(C_n^m=C_n^{n-m}\)

\(\sum_{i=0}^{n} (-1)^i*C_n^i=0\)

\(\sum_{i=0}^n C_n^i*[i\%2=1]=\sum_{i=0}^n C_n^i * [i\%2=0] = 2^{n-1}\)

\(\sum_{i=0}^n (C_n^i)^2=C_{2n}^{n}\)

\((x+y)^n = \sum_{i=0}^n C_n^i*x^i*y^{n-i}\) 即二项式定理

斐波那契数列

\(f(n)=f(n-1)+f(n-2)\)

\(f(n)=\sum_{i=0}^{i<=n-i-1} C_{n-i-1}^{i}\) 用2*n方格的多米诺骨牌覆盖问题可证

卡特兰数

\(Cat_n=C_{2n}^{n}*\frac{1}{n+1}\)

\(Cat_n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}\)

\(Cat_{n+1}=Cat_{n}*\frac{2(2n+1)}{n+2}\)

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