BZOJ2082 : [Poi2010]Divine divisor

最新推荐文章于 2020-01-13 20:23:43 发布

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本文介绍了一种高效的质因数分解算法，适用于处理大量整数的质因数分解任务。该算法通过预处理找到小于10^6的所有质数，并针对大于10^6的因子采用Miller-Rabin素性测试等方法进行高效处理。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

将所有数分解质因数，那么第一问就是求指数的最大值，第二问就是$2^{指数最大的质数个数}-1$。

首先将$10^6$以内的质因数全部找到，那么剩下部分的因子$>10^6$，且只有3种情况：

1.大质数

2.大质数的平方

3.两个大质数的乘积

对于1可以用MillerRabin算法判定，对于2可以尝试开根号然后判定。

那么剩下的一定是3，对于每个不确定的数字，如果它所含的因子只有它有，那么这两个因子可以合并，算第二问的时候个数$+=2$即可。

判断其它数字是否也有这个因子，只需要求gcd即可。

时间复杂度$O(\frac{nv^{\frac{1}{3}}}{\ln v})$。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1000000,B=10000,MAXL=220;
int n,i,j,k,tot,p[N],v[N],ca,cb,cc,ans0,ans1;ll a[64*600],b[610],c[610];
inline ll gcd(ll a,ll b){
  ll c=1;
  while(a-b){
    if(a&1){
      if(b&1){
        if(a>b)a=(a-b)>>1;else b=(b-a)>>1;
      }else b>>=1;
    }else{
      if(b&1)a>>=1;else c<<=1,a>>=1,b>>=1;
    }
  }
  return c*a;
}
inline ll mul(ll a,ll b,ll n){return(a*b-(ll)(a/(long double)n*b+1e-3)*n+n)%n;}
inline ll pow(ll a,ll b,ll n){
  ll d=1;a%=n;
  while(b){
    if(b&1)d=mul(d,a,n);
    a=mul(a,a,n);
    b>>=1;
  }
  return d;
}
inline bool check(ll a,ll n){
  ll m=n-1,x,y;int i,j=0;
  while(!(m&1))m>>=1,j++;
  x=pow(a,m,n);
  for(i=1;i<=j;x=y,i++){
    y=pow(x,2,n);
    if((y==1)&&(x!=1)&&(x!=n-1))return 1;
  }
  return y!=1;
}
inline bool miller_rabin(ll n){
  int t=5;ll a;
  if(!(n&1))return 0;
  while(t--)if(check(rand()%(n-1)+1,n))return 0;
  return 1;
}
inline ll getsqrt(ll n){
  ll x=sqrt(n);
  for(ll i=x-2;i<=x+2;i++)if(i*i==n)return i;
  return 0;
}
inline void divide(){
  ll n;
  scanf("%lld",&n);
  for(int i=0;i<tot&&p[i]<=n;i++)while(n%p[i]==0)n/=p[i],a[++ca]=p[i];
  if(n==1)return;
  if(miller_rabin(n)){a[++ca]=c[++cc]=n;return;}
  ll t=getsqrt(n);
  if(t){a[++ca]=t;a[++ca]=c[++cc]=t;return;}
  b[++cb]=n;
}
inline void solve(ll n){
  for(int i=1;i<=cc;i++)if(n%c[i]==0){
    a[++ca]=c[i],a[++ca]=n/c[i];
    return;
  }
  for(int i=1;i<=cb;i++){
    ll t=gcd(n,b[i]);
    if(t==1||t==n)continue;
    a[++ca]=t,a[++ca]=n/t;
    return;
  }
  a[++ca]=-n;
}
struct Num{
  int a[MAXL],len,fu;
  Num(){len=1,fu=a[1]=0;}
  Num operator+(const Num&b){
    Num c;
    c.len=max(len,b.len)+2;
    int i;
    for(i=1;i<=c.len;i++)c.a[i]=0;
    if(fu==b.fu){
      for(i=1;i<=len;i++)c.a[i]=a[i];
      for(i=1;i<=b.len;i++)c.a[i]+=b.a[i];
      for(i=1;i<=c.len;i++)if(c.a[i]>=B)c.a[i+1]++,c.a[i]-=B;
      while(c.len>1&&!c.a[c.len])c.len--;
      c.fu=fu;
    }else{
      bool flag=0;
      if(len==b.len){
        for(i=len;i;i--)if(a[i]!=b.a[i]){
          if(a[i]>b.a[i])flag=1;
          break;
        }
      }else{
        if(len>b.len)flag=1;
      }
      if(flag){
        for(i=1;i<=len;i++)c.a[i]=a[i];
        for(i=1;i<=b.len;i++)c.a[i]-=b.a[i];
        for(i=1;i<=c.len;i++)if(c.a[i]<0)c.a[i+1]--,c.a[i]+=B;
        while(c.len>1&&!c.a[c.len])c.len--;
        c.fu=fu;
      }else{
        for(i=1;i<=b.len;i++)c.a[i]=b.a[i];
        for(i=1;i<=len;i++)c.a[i]-=a[i];
        for(i=1;i<=c.len;i++)if(c.a[i]<0)c.a[i+1]--,c.a[i]+=B;
        while(c.len>1&&!c.a[c.len])c.len--;
        c.fu=b.fu;
      }
    }
    return c;
  }
  void write(){
    printf("%d",a[len]);
    for(int i=len-1;i;i--)printf("%04d",a[i]);
  }
  void set(int x){
    if(x<0){a[len=1]=fu=1;return;}
    fu=0,a[len=1]=x;
  }
}num,sub;
int main(){
  for(i=2;i<N;i++){
    if(!v[i])p[tot++]=i;
    for(j=0;j<tot&&i*p[j]<N;j++){
      v[i*p[j]]=1;
      if(i%p[j]==0)break;
    }
  }
  scanf("%d",&n);
  while(n--)divide();
  for(i=1;i<=cb;i++)solve(b[i]);
  sort(a+1,a+ca+1);
  for(i=1;i<=ca;i=j){
    for(j=i;j<=ca&&a[i]==a[j];j++);
    k=j-i,tot=a[i]<0?2:1;
    if(k>ans0)ans0=k,ans1=tot;else if(k==ans0)ans1+=tot;
  }
  printf("%d\n",ans0);
  num.set(1);
  while(ans1--)num=num+num;
  sub.set(-1);
  num=num+sub;
  num.write();
  return 0;
}