HDU 5667 ：Sequence

最新推荐文章于 2025-08-08 22:01:10 发布

weixin_33991418

最新推荐文章于 2025-08-08 22:01:10 发布

阅读量77

点赞数

文章标签： java

面对Lcomyn提出的特殊数列挑战，本篇详细解析了如何通过构造矩阵和快速幂的方法来高效求解该数列第n项模p的结果。针对给定的数列公式，文章介绍了如何将问题转化为矩阵运算，并特别强调了在指数运算中取模操作的重要性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Sequence

Accepts: 59

Submissions: 650

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)

Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)

问题描写叙述

 $\ \ \ \$ Lcomyn 是个非常厉害的选手,除了喜欢写17kb+的代码题,偶尔还会写数学题.他找到了一个数列:

 $f_n=\left\{\begin{matrix} 1 ,&n=1 \\ a^b,&n=2 \\ a^bf_{n-1}^cf_{n-2},&otherwise \end{matrix}\right.$ 

 $\ \ \ \$ 他给了你几个数: $n$ , $a$ , $b$ , $c$ ,你须要告诉他 $f_n$ 模 $p$ 后的数值.

输入描写叙述

 $\ \ \ \$ 第一行一个数T,为測试数据组数.

 $\ \ \ \$ 每组数据一行,一行五个正整数,按顺序为 $n$ , $a$ , $b$ , $c$ , $p$ .

 $\ \ \ \ 1\le T \le 10,1\le n\le 10^{18}$ , $1\le a,b,c\le 10^9$ ,p是质数且 $p\le 10^9+7$ .

输出描写叙述

 $\ \ \ \$ 对每组数据输出一行一个数,输出 $f_n$ 对 $p$ 取模后的数值.

输入例子

1
5 3 3 3 233

输出例子

发现f序列就是a的不同指数的形式。所以对每个f对a取对数。发现就是f[n]=b+c*f[n-1]+f[n-2]。

构造矩阵，高速幂搞。

注意由于是在指数上。所以模的值须要是欧拉函数p，由于p是质数。所以直接是p-1。

代码：

#pragma warning(disable:4996)
#include <iostream>
#include <functional>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <deque>
#include <set>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;

#define INF 0x333f3f3f
#define repp(i, n, m) for (int i = n; i <= m; i++)
#define rep(i, n, m) for (int i = n; i < m; i++)
#define sa(n) scanf("%d", &(n))

const ll mod = 100000007;
const int maxn = 5e5 + 5;
const double PI = acos(-1.0);

ll n, a, b, c, p;

struct ma
{
	ll val[4][4];
	ma operator *(const ma &b)
	{
		int i, j, k;
		ma res;
		memset(res.val, 0, sizeof(res.val));

		for (k = 1; k <= 3; k++)
		{
			for (i = 1; i <= 3; i++)
			{
				for (j = 1; j <= 3; j++)
				{
					res.val[i][j] += (this->val[i][k] * b.val[k][j]) % (p - 1);
					res.val[i][j] %= (p - 1);
				}
			}
		}
		return res;
	}
};

ll po(ll x, ll y)
{
	ll res = 1;
	while (y)
	{
		if (y & 1)
			res = res*x%p;
		x = x*x%p;
		y >>= 1;
	}
	return res;
}

ma po_matrix(ma &x, ll y)
{
	ma res;
	res.val[1][1] = 1, res.val[1][2] = 0, res.val[1][3] = 0;
	res.val[2][1] = 0, res.val[2][2] = 1, res.val[2][3] = 0;
	res.val[3][1] = 0, res.val[3][2] = 0, res.val[3][3] = 1;
	while (y)
	{
		if (y & 1)
			res = res*x;
		x = x*x;
		y >>= 1;
	}
	return res;
}

void solve()
{
	ll i, j, k;
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &n, &a, &b, &c, &p);
	
	ll res;
	ma r;
	if (n == 1)
	{
		puts("1");
	}
	else if (n == 2)
	{
		res = po(a, b);
		printf("%lld\n", res);
	}
	else
	{
		r.val[1][1] = c, r.val[1][2] = 1, r.val[1][3] = b;
		r.val[2][1] = 1, r.val[2][2] = 0, r.val[2][3] = 0;
		r.val[3][1] = 0, r.val[3][2] = 0, r.val[3][3] = 1;

		r = po_matrix(r, n - 2);
		res = r.val[1][3] + r.val[1][1] * b;
		res = po(a, res);
		printf("%lld\n", res);
	}
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE  
	freopen("i.txt", "r", stdin);
	freopen("o.txt", "w", stdout);
#endif

	int t;
	scanf("%d", &t);

	while (t--)
	{
		solve();
	}

	return 0;
}