《大数据算法》一2.1 时间亚线性算法概述

本节书摘来华章计算机《大数据算法》一书中的第2章 ，第2.1节，王宏志　编著, 更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看。

2.1　时间亚线性算法概述

本节我们通过两个简单的例子来介绍时间亚线性算法的基本概念。

2.1.1　平面图直径问题的亚线性算法

1.问题的定义
平面图直径问题
输入：有m个顶点的平面图（平面图可以放置在平面上而边不交叉），任意两点之间的距离存储在矩阵D中，即点i到点j的距离为Dij。输入满足如下条件:

1) 输入大小是D的大小n=m2。
2) 最大的Dij是图的直径。
3) 点之间的距离对称且满足三角不等式。距离对称意味着i到j的距离等于j到i的距离；满足三角不等式意味着对于i、j、k来说i到j的距离加上j到k的距离要大于i到k的距离。

输出：该图的直径和距离最大的Dij。
矩阵D可以通过基于动态规划的Floyd算法得到。本小节关心的不是计算D的算法，而是以这个D为输入，计算图的直径和距离最大的Dij。
计算这个问题一个直观的想法是把D遍历一次，从中选择最大的Dij。但是问题没那么简单，如果要求运行时间为o(n)，也就是运行时间比输入规模n阶低，应如何处理？
是否能做到呢？想精确完成这个问题是不可能的，因为如果有一个“坏人”知道处理过程，由于时间复杂度为o(n)的算法不可能访问所有的数据，这个“坏人”就让输入中没有访问到的数据中包含最大的。这样处理就会令亚线性方法出错。因而，处理这个问题的时间复杂度应该是O(n)。
本小节将讨论一个亚线性的近似算法，这个算法的计算结果可能不是最好的，但是可以计算出一个和原来的结果相差不多的结果。近似算法的动机就是无法在要求的时间内得到精确解，就退而求其次，求出近似的解。
补充知识:近似算法
近似算法主要用来解决优化问题，它不一定能得到最优解但能够给出一个近似解，最优解和近似解相差很小。