https详解小白入门版（2）-什么是非对称加密（转）

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上一章（https详解小白入门版（1）-什么是对称加密）简单介绍了什么是对称加密，主要是为了这篇非对称加密做对比和铺垫。

一 什么是非对称加密了？

    对称加密有两个密钥（公钥和私钥，两个密钥是不一样的），所谓的公钥了，就是会公布出去的，随便谁都可以获取到。私钥了，就是你自己保存的，不能让别人知道的（和对称加密的私钥一样的作用）。公钥和私钥的作用是对立的，一个用来加密，另一个就用来解密。不能同样一个密钥既可以加密，又可以解密（和对称加密刚好相反，记住哦）。

OK，咱还是准备在老婆不在的时候找你出去做大保健。还是用加密邮件。怎么加密了？  我先让你用非对称加密算法生成一对公钥和私钥，然后让你把公钥给我，私钥好好保存。这时候那孙子又想来窃听我的邮件，没事，我还大方的直接把公钥给他，玩蛋去吧。然后了，我写了封邮件，内容是：保利俱乐部又来了新的软妹子，晚上9点一起去哈。

然后了，我用你给的公钥加密了这封邮件，并且发送给你。窃听的孙子了，估计费力还是窃听到了。但是拿着公钥没办法解密啊。你成功收到了邮件，并且用你保存的私钥解密这封邮件。然后晚上我们开开信息的一起去保利俱乐部，结果被警察抓了，还上了新闻（网传北京扫黄被抓名单 牵出知名网红投资人）。。。。

 

不管怎么样，这种加密手段确实比对称加密更安全，对不对？

那为什么我们不淘汰对称加密了?原因就是因为对称加密的效率比非对称加密的效率高。

二 非对称加密算法原理（主要研究RSA）

对称加密，在不了解算法的情况下，我们在心里大概都能有个模糊的概念。无非就是拿一把密钥，左拐，左拐，再左拐，把数据给加密了。然后拿着这把钥匙右拐，右拐，再右拐，把数据给解密了。

可是非对称加密，我们心里连个大概的概念也没办法形成，所以我们一起研究非对称加密的算法原理。

先介绍几个概念：

    1，公约数：公约数，亦称“公因数”。它是一个能被若干个整数同时均整除的整数，对任意的若干个正整数，1总是它们的公因数。例如：12和15的公约数有1，3，其中最大的公约数就是3

    2，  什么是素数，素数又称为质素，是除了1和本身，都不能被正除的数（非素数就称为合数）。比如7就是素数，因为它只能被1和7整除。8就不是素数，8能被1，8，2，4整除。

        这里延伸一下查找素数的算法。这里

   3，互质关系：如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，我们就称这两个数是互质关系（coprime）。比如，15和32没有公因子（公约数），所以它们是互质关系。这说明，不是质数也可以构成互质关系。

     4,欧拉公式：

    任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）

     计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。

    也就是说，a的φ(n)次方被n除的余数为1。或者说，a的φ(n)次方减去1，可以被n整除。比如，3和7互质，而7的欧拉函数φ(7)等于6，所以3的6次方（729）减去1，可以被7整除（728/7=104）。

欧拉定理有一个特殊情况。

这就是著名的费马小定理。它是欧拉定理的特例。

 

模反元素

比如，3和11互质，那么3的模反元素就是4，因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。显然，模反元素不止一个， 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {...,-18,-7,4,15,26,...}，即如果b是a的模反元素，则 b+kn 都是a的模反元素。

RSA算法原理-密钥的生成过程

我们通过一个例子，来理解RSA算法。假设爱丽丝要与鲍勃进行加密通信，她该怎么生成公钥和私钥呢？

第一步，随机选择两个不相等的质数p和q。

爱丽丝选择了61和53。（实际应用中，这两个质数越大，就越难破解。）

第二步，计算p和q的乘积n。

爱丽丝就把61和53相乘。

　　n = 61×53 = 3233

n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是110010100001，一共有12位，所以这个密钥就是12位。实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要场合则为2048位。

第三步，计算n的欧拉函数φ(n)。

根据公式：

　　φ(n) = (p-1)(q-1)

第四步，随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质。

爱丽丝就在1到3120之间，随机选择了17。（实际应用中，常常选择65537。）

第五步，计算e对于φ(n)的模反元素d。

所谓"模反元素"就是指有一个整数d，可以使得ed被φ(n)除的余数为1。

　　ed ≡ 1 (mod φ(n))

这个式子等价于

　　ed - 1 = kφ(n)

于是，找到模反元素d，实质上就是对下面这个二元一次方程求解。

　　ex + φ(n)y = 1

已知 e=17, φ(n)=3120，

　　17x + 3120y = 1

爱丽丝算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15)，即 d=2753。

至此所有计算完成。

第六步，将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。

在爱丽丝的例子中，n=3233，e=17，d=2753，所以公钥就是 (3233,17)，私钥就是（3233, 2753）。

实际应用中，公钥和私钥的数据都采用ASN.1格式表达（实例）。

七、RSA算法的可靠性

回顾上面的密钥生成步骤，一共出现六个数字：

　　p
　　q
　　n
　　φ(n)
　　e
　　d

这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄漏，就等于私钥泄漏。

那么，有无可能在已知n和e的情况下，推导出d？

　　（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。

　　（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。

　　（3）n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。

结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。

可是，大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道：

　　"对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。

　　假如有人找到一种快速因数分解的算法，那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。

　　只要密钥长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。"

举例来说，你可以对3233进行因数分解（61×53），但是你没法对下面这个整数进行因数分解。

　　12301866845301177551304949
　　58384962720772853569595334
　　79219732245215172640050726
　　36575187452021997864693899
　　56474942774063845925192557
　　32630345373154826850791702
　　61221429134616704292143116
　　02221240479274737794080665
　　351419597459856902143413

它等于这样两个质数的乘积：

　　33478071698956898786044169
　　84821269081770479498371376
　　85689124313889828837938780
　　02287614711652531743087737
　　814467999489
　　　　×
　　36746043666799590428244633
　　79962795263227915816434308
　　76426760322838157396665112
　　79233373417143396810270092
　　798736308917

事实上，这大概是人类已经分解的最大整数（232个十进制位，768个二进制位）。比它更大的因数分解，还没有被报道过，因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。

八、加密和解密

有了公钥和密钥，就能进行加密和解密了。

（1）加密要用公钥 (n,e)

假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m，他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对m进行加密。这里需要注意，m必须是整数（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必须小于n。

所谓"加密"，就是算出下式的c：

　　me ≡ c (mod n)

爱丽丝的公钥是 (3233, 17)，鲍勃的m假设是65，那么可以算出下面的等式：

　　6517 ≡ 2790 (mod 3233)

于是，c等于2790，鲍勃就把2790发给了爱丽丝。

（2）解密要用私钥(n,d)

爱丽丝拿到鲍勃发来的2790以后，就用自己的私钥(3233, 2753) 进行解密。可以证明，下面的等式一定成立：

　　cd ≡ m (mod n)

也就是说，c的d次方除以n的余数为m。现在，c等于2790，私钥是(3233, 2753)，那么，爱丽丝算出

　　27902753 ≡ 65 (mod 3233)

因此，爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是65。

至此，"加密--解密"的整个过程全部完成。

我们可以看到，如果不知道d，就没有办法从c求出m。而前面已经说过，要知道d就必须分解n，这是极难做到的，所以RSA算法保证了通信安全。

你可能会问，公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m，那么如果要加密大于n的整数，该怎么办？有两种解决方法：一种是把长信息分割成若干段短消息，每段分别加密；另一种是先选择一种"对称性加密算法"（比如DES），用这种算法的密钥加密信息，再用RSA公钥加密DES密钥。

九、私钥解密的证明

最后，我们来证明，为什么用私钥解密，一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子：

　　cd ≡ m (mod n)

因为，根据加密规则

　　ｍe ≡ c (mod n)

于是，c可以写成下面的形式：

　　c = me - kn

将c代入要我们要证明的那个解密规则：

　　(me - kn)d ≡ m (mod n)

它等同于求证

　　med ≡ m (mod n)

由于

　　ed ≡ 1 (mod φ(n))

所以

　　ed = hφ(n)+1

将ed代入：

　　mhφ(n)+1 ≡ m (mod n)

接下来，分成两种情况证明上面这个式子。

（1）m与n互质。

根据欧拉定理，此时

　　mφ(n) ≡ 1 (mod n)

得到

　　(mφ(n))h × m ≡ m (mod n)

原式得到证明。

（2）m与n不是互质关系。

此时，由于n等于质数p和q的乘积，所以m必然等于kp或kq。

以 m = kp为例，考虑到这时k与q必然互质，则根据欧拉定理，下面的式子成立：

　　(kp)q-1 ≡ 1 (mod q)

进一步得到

　　[(kp)q-1]h(p-1) × kp ≡ kp (mod q)

即

　　(kp)ed ≡ kp (mod q)

将它改写成下面的等式

　　(kp)ed = tq + kp

这时t必然能被p整除，即 t=t'p

　　(kp)ed = t'pq + kp

因为 m=kp，n=pq，所以

　　med ≡ m (mod n)

原式得到证明。

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