【普吕弗编码 + 组合数学】bzoj 1211: [HNOI2004]树的计数

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原文链接：http://www.cnblogs.com/fly-white/p/10092689.html

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#c/c++

本文详细介绍了HNOI2004树的计数问题，利用普吕弗编码原理，阐述了如何通过给定点的度数计算可能的树的数量。并提供了AC代码实现，包括初始化质数、求解过程和最终输出。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1211: [HNOI2004]树的计数

Description

一个有n个结点的树，设它的结点分别为v1, v2, …, vn，已知第i个结点vi的度数为di，问满足这样的条件的不同的树有多少棵。给定n，d1, d2, …, dn，编程需要输出满足d(vi)=di的树的个数。

Input

第一行是一个正整数n，表示树有n个结点。第二行有n个数，第i个数表示di，即树的第i个结点的度数。其中1<=n<=150，输入数据保证满足条件的树不超过10^17个。

Output

输出满足条件的树有多少棵。

Sample Input

2 1 2 1

Sample Output

思路

根据普吕弗编码（关于Pruper Sequence
https://blog.youkuaiyun.com/baiyifeifei/article/details/84065899 ），我们已知，任何一棵树，都唯一对应一段长度为n-2的序列，序列中每个点出现的次数都等于其在树中的度数-1，因此假设有n个点，我们可以得到答案
$ans=\frac{A_{n-2}^{n-2}}{\prod_{i=1}^{n}(du[i]-1)!}$
值得注意的是当只有一个节点时，需要特判，假如这个点度数不为0则无法构成树，而点大于1时，不能有点的度数为0，且必须出现的数的次数之和必须等于n-2

AC代码

/**************************************************************
    Problem: 1211
    User: FlyWhite
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:0 ms
    Memory:1292 kb
****************************************************************/
 
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<string>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int size=160;
int du[size];
int tim[size];
bool prime[size];
int p[size],tot;
void init_prime(int n)
{
    tot=0;
    fill(prime,prime+size,true);
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(prime[i] ) p[tot++]=i;
        for(int j=0;j<tot&&i*p[j]<n;j++)
        {
            prime[i*p[j]]=false;
            if(i%p[j]==0) break;
        }
    }
}
void solve(int num,int op)
{
    for(int i=2;i<=num;i++)
    {
        int w=i;
        for(int j=0;j<tot;j++)
        {
            if(w%p[j]==0)
            while(w%p[j]==0)
            {
                w/=p[j];
                tim[j]+=op;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int sum=0;
    memset(tim,0,sizeof(tim));
    init_prime(n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&du[i]);
        if(n==1) continue;
        if(!du[i])
        {
            printf("0\n");
            return 0;
        }
        du[i]--;
        sum+=du[i];
    }
    if(n==1) {
        if(!du[1]) printf("1\n");
        else printf("0\n");
        return 0;
    }
    if(sum!=n-2) {
        printf("0");
        return 0;
    }
    solve(n-2,1);
    long long ans=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(du[i]>1)solve(du[i],-1);
    }
    for(int i=0;i<tot;i++)
    {
        for(int j=1;j<=tim[i];j++)
        {
            ans*=p[i];
        }
    }
    printf("%lld",ans);
}