阶乘的末尾有多少0 Factorial Trailing Zeroes

本文介绍了一种高效算法,用于计算给定整数n的阶乘(n!)末尾0的数量,采用O(logn)的时间复杂度。文章通过分析质因数2和5的个数来确定0的个数,并提供了详细的解释及Java代码实现。

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问题:

Given an integer n, return the number of trailing zeroes in n!.

Note: Your solution should be in logarithmic time complexity.

【注】求阶乘的末尾有多少个0,注意时间复杂度要为logn

解决:

①首先求出n!,然后计算末尾0的个数。(重复÷10,直到余数非0)。该解法在输入的数字稍大时就会导致阶乘得数溢出,不足取。

②O(logn)解法:只有2和5相乘才会出现0,其中整十也可以看做是2和5相乘的结果,所以,可以在n之前看看有多少个2以及多少个5就行了,又发现2的数量一定多于5的个数,于是我们只看n前面有多少个5就行了。

考虑n!的质数因子。后缀0总是由质因子2和质因子5相乘得来的。如果我们可以计数2和5的个数,问题就解决了。考虑下面的例子:

n = 5: 5!的质因子中 (2 * 2 * 2 * 3 * 5)包含一个5和三个2。因而后缀0的个数是1

n = 11: 11!的质因子中(2^8 * 3^4 * 5^2 * 7)包含两个5和三个2。于是后缀0的个数就是2

我们很容易观察到质因子中2的个数总是大于等于5的个数。因此只要计数5的个数就可以了。那么怎样计算n!的质因子中所有5的个数呢?一个简单的方法是计算n/5。例如,7!有一个5,10!有两个5。除此之外,还有一件事情要考虑。诸如25,125之类的数字有不止一个5。例如,如果我们考虑28!,我们得到一个额外的5,并且0的总数变成了6。处理这个问题也很简单,首先对n÷5,移除所有的单个5,然后÷25,移除额外的5,以此类推。

public class Solution {
    public int trailingZeroes(int n) {
        int count = 0;
        while(n > 0){
            n /= 5;
            count += n;
        }
        return count;
    }
}

转载于:https://my.oschina.net/liyurong/blog/1153913

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