三视图

前言

一、方法总结

• 三视图还原为直观图的方法

二、典例剖析

例1【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅱ第15题】

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________。

分析：由题目给定的三视图我们可以看出，原几何体的长、宽、高都是2，故我们先做一个正方体的模型备用，暂时不用标记顶点字母。

然后观察正视图中的所有顶点，将其顶点所落的正方体中的线段用红色标记并加粗，如下图所示；

然后观察左视图中的所有顶点，将其顶点所落的正方体中的线段用蓝色标记并加粗，如下图所示；

再观察附视图中的所有顶点，将其顶点所落的正方体中的线段用绿色标记并加粗，如下图所示；

最后，确定出原几何体的各个顶点。我们这样做，从图中找出来由三条有色加粗的线段交汇的点(如果仅仅由两个颜色的线段交汇的点舍弃不用)，将得到的这些点相连就得到了如下图的几何体，至此，完成了由三视图到几何体的直观图的还原过程。

如图所示，连结\(BD\)，则原几何体即可以看成一个三棱锥\(D_1-ABD\)和一个四棱锥\(B-CDD_1F\)合体构成的一个几何体，故其体积计算如下：

\(V=V_{三棱锥D_1-ABD}+V_{四棱锥B-CDD_1F}\)

\(=\cfrac{1}{3}\times \cfrac{1}{2}\times 2\times 2\times 2+\cfrac{1}{3}\times \cfrac{1}{2}\times(1+2)\times 2\times 2=\cfrac{10}{3}\)。

例2【第4题】某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则最长的侧棱与底面所成的角为【】

$A.30^{\circ}$ $B.45^{\circ}$ $C.60^{\circ}$ $D.90^{\circ}$

分析：

由图可知，实物图为三棱锥\(D-ABC\)，且有\(AB=BC=CD=AD=2\)，\(AE=CE=1\)，\(\angle BED=\cfrac{\pi}{2}\)，面\(ADC\perp\)面\(ABC\)，故可求得\(DE=BE=\sqrt{3}\)，则最长的侧棱\(BD\)与底面所成的角为可知\(\angle DBE=45^{\circ}\)。

例3【第9题】已知某四棱锥的三视图如图所示，三角形的直角边长和正方形的边长都是1，则该四棱锥的外接球的表面积为【】

$A.3\pi$ $B.6\pi$ $C.9\pi$ $D.12\pi$

分析：如图所示，三视图的实物图可以从正方体中得到，是四棱锥\(D-A_1BCD_1\)，故其外接球的直径为\(A_1C=BD_1=\sqrt{3}\)，则半径为\(R=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，表面积为\(S=4\pi R^2=3\pi\)，故选\(A\)。

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